2 tìm x
a; x:1/2+x:1/4+x:1/8+...+x:1/512=511
b; x:[1/2+1/6+1/12+...+1/9900]=100
c; [2x+1]mũ 223 = 25 mũ 34 ....+99.100
d; tìm các số nguyên x,y sao cho xy-2x-x-y

Question

2 tìm x
a; x:1/2+x:1/4+x:1/8+...+x:1/512=511 
b; x:[1/2+1/6+1/12+...+1/9900]=100
c; [2x+1]mũ 223 = 25 mũ 34 ....+99.100
d; tìm các số nguyên x,y sao cho xy-2x-x-y

Accepted Answer

a) Ta có:
$$ x : \frac{1}{2} + x : \frac{1}{4} + x : \frac{1}{8} + \ldots + x : \frac{1}{512} = 511 $$

Nhận thấy rằng:
$$ x : \frac{1}{2} = 2x $$
$$ x : \frac{1}{4} = 4x $$
$$ x : \frac{1}{8} = 8x $$
$$ \ldots $$
$$ x : \frac{1}{512} = 512x $$

Do đó:
$$ 2x + 4x + 8x + \ldots + 512x = 511 $$

Tổng của dãy số trên là:
$$ 2x + 4x + 8x + \ldots + 512x = x(2 + 4 + 8 + \ldots + 512) $$

Dãy số $2, 4, 8, \ldots, 512$ là dãy số lũy thừa cơ số 2, số hạng cuối cùng là $2^9 = 512$. Tổng của dãy số này là:
$$ 2 + 4 + 8 + \ldots + 512 = 2(1 + 2 + 4 + \ldots + 256) $$

Tổng của dãy số $1 + 2 + 4 + \ldots + 256$ là:
$$ 1 + 2 + 4 + \ldots + 256 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^8 = 2^9 - 1 = 511 $$

Do đó:
$$ 2 + 4 + 8 + \ldots + 512 = 2 \times 511 = 1022 $$

Vậy:
$$ x \times 1022 = 511 $$
$$ x = \frac{511}{1022} = \frac{1}{2} $$

Đáp số: $ x = \frac{1}{2} $

b) Ta có:
$$ x : \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{9900} \right) = 100 $$

Nhận thấy rằng:
$$ \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $$
$$ \frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $$
$$ \ldots $$
$$ \frac{1}{9900} = \frac{1}{99} - \frac{1}{100} $$

Do đó:
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{9900} = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} $$

Vậy:
$$ x : \frac{99}{100} = 100 $$
$$ x = 100 \times \frac{99}{100} = 99 $$

Đáp số: $ x = 99 $

c) Ta có:
$$ (2x + 1)^{223} = 25^{34} $$

Nhận thấy rằng:
$$ 25 = 5^2 $$
$$ 25^{34} = (5^2)^{34} = 5^{68} $$

Do đó:
$$ (2x + 1)^{223} = 5^{68} $$

Vì $223$ là số lẻ, nên $2x + 1$ phải là lũy thừa của $5$. Ta có:
$$ 2x + 1 = 5^{\frac{68}{223}} $$

Vì $ \frac{68}{223} $ không là số nguyên, nên không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn.

Đáp số: Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn.

d) Ta có:
$$ xy - 2x - x - y = 0 $$
$$ xy - 3x - y = 0 $$

Nhận thấy rằng:
$$ xy - 3x - y = 0 $$
$$ xy - 3x - y + 3 = 3 $$
$$ (x - 1)(y - 3) = 3 $$

Ta xét các trường hợp:
- $x - 1 = 1$ và $y - 3 = 3$: $x = 2$ và $y = 6$
- $x - 1 = 3$ và $y - 3 = 1$: $x = 4$ và $y = 4$
- $x - 1 = -1$ và $y - 3 = -3$: $x = 0$ và $y = 0$
- $x - 1 = -3$ và $y - 3 = -1$: $x = -2$ và $y = 2$

Đáp số: Các cặp số nguyên $(x, y)$ là $(2, 6)$, $(4, 4)$, $(0, 0)$, $(-2, 2)$.

2 tìm x a; x:1/2+x:1/4+x:1/8+...+x:1/512=511 b; x:[1/2+1/6+1/12+...+1/9900]=100 c; [2x+1]mũ 223 = 25 mũ 34 ....+99.100 d; tìm các số nguyên x,y sao cho xy-2x-x-y