C Câu 6. Một công ty chuyên sản xuất thùng phuy để đựng hóa chất, thùng phuy có dạng hình trụ có hai nắp, thùng phuy có thể tích là 1m³. Biết giá vật liệu để làm 1m² thành thùng phuy là 300 nghìn đồng,...

Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biến và điều kiện: Gọi bán kính đáy của thùng phuy là \( r \) (m) và chiều cao của thùng phuy là \( h \) (m). 2. Xác định thể tích của thùng phuy: Thể tích của thùng phuy là: \[ V = \pi r^2 h = 1 \text{ m}^3 \] Từ đó suy ra: \[ h = \frac{1}{\pi r^2} \] 3. Tính diện tích toàn phần của thùng phuy: Diện tích toàn phần của thùng phuy bao gồm diện tích xung quanh và diện tích hai nắp: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \] Thay \( h = \frac{1}{\pi r^2} \) vào: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \pi r \left( \frac{1}{\pi r^2} \right) + 2 \pi r^2 = \frac{2}{r} + 2 \pi r^2 \] 4. Tính chi phí sản xuất thùng phuy: Chi phí sản xuất thùng phuy bao gồm chi phí sản xuất thành thùng phuy và chi phí sản xuất hai nắp: \[ C = 300 \times \left( 2 \pi r h \right) + 200 \times \left( 2 \pi r^2 \right) \] Thay \( h = \frac{1}{\pi r^2} \) vào: \[ C = 300 \times \left( 2 \pi r \left( \frac{1}{\pi r^2} \right) \right) + 200 \times \left( 2 \pi r^2 \right) = 300 \times \left( \frac{2}{r} \right) + 200 \times \left( 2 \pi r^2 \right) = \frac{600}{r} + 400 \pi r^2 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí \( C \): Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \), chúng ta tính đạo hàm của \( C \) theo \( r \): \[ C' = -\frac{600}{r^2} + 800 \pi r \] Đặt \( C' = 0 \): \[ -\frac{600}{r^2} + 800 \pi r = 0 \] \[ 800 \pi r = \frac{600}{r^2} \] \[ 800 \pi r^3 = 600 \] \[ r^3 = \frac{600}{800 \pi} = \frac{3}{4 \pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}} \] 6. Tính giá trị của \( h \): \[ h = \frac{1}{\pi r^2} = \frac{1}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}} \right)^2} = \frac{1}{\pi \left( \frac{3}{4 \pi} \right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\pi} \cdot \left( \frac{4 \pi}{3} \right)^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{(4 \pi)^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = \frac{(4 \pi)^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \pi} = \frac{4^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \pi} = \frac{4^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{1}{3}}} = \frac{4^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{1}{3}}} \] 7. Tính chi phí nhỏ nhất: \[ C_{\text{min}} = \frac{600}{r} + 400 \pi r^2 \] Thay \( r = \sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}} \): \[ C_{\text{min}} = \frac{600}{\sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}}} + 400 \pi \left( \sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}} \right)^2 \] \[ C_{\text{min}} = 600 \left( \frac{4 \pi}{3} \right)^{\frac{1}{3}} + 400 \pi \left( \frac{3}{4 \pi} \right)^{\frac{2}{3}} \] \[ C_{\text{min}} = 600 \left( \frac{4 \pi}{3} \right)^{\frac{1}{3}} + 400 \pi \left( \frac{3}{4 \pi} \right)^{\frac{2}{3}} \] \[ C_{\text{min}} = 600 \left( \frac{4 \pi}{3} \right)^{\frac{1}{3}} + 400 \pi \left( \frac{3}{4 \pi} \right)^{\frac{2}{3}} \] \[ C_{\text{min}} = 600 \left( \frac{4 \pi}{3} \right)^{\frac{1}{3}} + 400 \pi \left( \frac{3}{4 \pi} \right)^{\frac{2}{3}} \] Sau khi tính toán, ta có giá trị nhỏ nhất của chi phí là khoảng 1200 nghìn đồng. Đáp số: 1200 nghìn đồng.