ữnnnxn. n nxmamammMm

Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Flycam không bay qua vị trí D(5;8;9). Đầu tiên, ta cần kiểm tra xem flycam có bay qua điểm D(5;8;9) hay không. Để làm điều này, ta sẽ tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B, sau đó kiểm tra xem điểm D có nằm trên đường thẳng đó hay không. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(21;32;33) là: \[ \begin{cases} x = 1 + t \cdot 20 \\ y = 2 + t \cdot 30 \\ z = 3 + t \cdot 30 \end{cases} \] Ta thay tọa độ của điểm D(5;8;9) vào phương trình trên để kiểm tra: \[ \begin{cases} 5 = 1 + t \cdot 20 \\ 8 = 2 + t \cdot 30 \\ 9 = 3 + t \cdot 30 \end{cases} \] Giải các phương trình này: \[ t = \frac{5 - 1}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 \] \[ t = \frac{8 - 2}{30} = \frac{6}{30} = 0.2 \] \[ t = \frac{9 - 3}{30} = \frac{6}{30} = 0.2 \] Vì tất cả các phương trình đều cho cùng một giá trị \( t = 0.2 \), nên điểm D nằm trên đường thẳng đi qua A và B. Do đó, flycam bay qua điểm D(5;8;9). b) Vectơ vận tốc của flycam là \(\overrightarrow{\psi} = (20, 30, 30)\). Vectơ vận tốc của flycam là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Ta tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (21 - 1, 32 - 2, 33 - 3) = (20, 30, 30) \] Do đó, vectơ vận tốc của flycam là \(\overrightarrow{\psi} = (20, 30, 30)\). c) Tốc độ (làm tròn đến hàng phần trăm) của flycam là 0,08 m/s. Tốc độ của flycam là độ dài của vectơ vận tốc \(\overrightarrow{\psi}\): \[ |\overrightarrow{\psi}| = \sqrt{20^2 + 30^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900 + 900} = \sqrt{2200} \approx 46.90 \text{ m/min} \] Chuyển đổi từ mét/phút sang mét/giây: \[ v = \frac{46.90}{60} \approx 0.78 \text{ m/s} \] d) Sau 15 phút, vị trí của flycam là C(31, 47, 48). Sau 15 phút, flycam sẽ di chuyển với vectơ vận tốc \(\overrightarrow{\psi} = (20, 30, 30)\) trong khoảng thời gian 15 phút. Ta tính tọa độ mới của flycam: \[ \begin{cases} x = 1 + 15 \cdot 20 = 1 + 300 = 301 \\ y = 2 + 15 \cdot 30 = 2 + 450 = 452 \\ z = 3 + 15 \cdot 30 = 3 + 450 = 453 \end{cases} \] Do đó, sau 15 phút, vị trí của flycam là C(301, 452, 453). Kết luận: - Flycam bay qua điểm D(5;8;9). - Vectơ vận tốc của flycam là \(\overrightarrow{\psi} = (20, 30, 30)\). - Tốc độ của flycam là 0,78 m/s. - Sau 15 phút, vị trí của flycam là C(301, 452, 453). Câu 4. a) Xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng sơ khảo là 0,5. b) Xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng bán kết là 0,3. c) Xác suất thí sinh được chọn lọt vào vòng chung kết là 0,03. d) Biết rằng thí sinh được chọn không lọt vào vòng chung kết, xác thí sinh đó lọt vào vòng sơ khảo nhỏ hơn 0,49. Lập luận từng bước: a) Xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng sơ khảo là 0,5. - Ban tổ chức chọn ra 50% thí sinh đã đăng ký để vào vòng sơ khảo. - Do đó, xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng sơ khảo là 0,5. b) Xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng bán kết là 0,3. - Ban tổ chức chọn ra 30% thí sinh của vòng sơ khảo để vào vòng bán kết. - Do đó, xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng bán kết là 0,3. c) Xác suất thí sinh được chọn lọt vào vòng chung kết là 0,03. - Ban tổ chức chọn ra 20% thí sinh của vòng bán kết để vào vòng chung kết. - Do đó, xác suất để thí sinh được chọn lọt vào vòng chung kết là 0,2 0,3 = 0,06. d) Biết rằng thí sinh được chọn không lọt vào vòng chung kết, xác thí sinh đó lọt vào vòng sơ khảo nhỏ hơn 0,49. - Xác suất để thí sinh không lọt vào vòng chung kết là 1 - 0,06 = 0,94. - Xác suất để thí sinh lọt vào vòng sơ khảo nhưng không lọt vào vòng chung kết là 0,5 - 0,06 = 0,44. - Xác suất để thí sinh lọt vào vòng sơ khảo nhưng không lọt vào vòng chung kết, biết rằng thí sinh không lọt vào vòng chung kết là $\frac{0,44}{0,94} \approx 0,468$. Do đó, xác suất để thí sinh lọt vào vòng sơ khảo nhưng không lọt vào vòng chung kết, biết rằng thí sinh không lọt vào vòng chung kết nhỏ hơn 0,49. Đáp số: a) 0,5 b) 0,3 c) 0,06 d) 0,468 Câu 1. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( AD = 2a \). - Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD. - Góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là \( 45^\circ \). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxyz. - Gọi H là trung điểm của AD, vậy H có tọa độ \( (0, a, 0) \). - A có tọa độ \( (0, 0, 0) \). - B có tọa độ \( (a, 0, 0) \). - D có tọa độ \( (0, 2a, 0) \). - C có tọa độ \( (a, 2a, 0) \). Bước 2: Tìm tọa độ của S. - Vì S có hình chiếu vuông góc là H, nên S có tọa độ \( (0, a, h) \). - Ta biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng đáy là \( 45^\circ \). Do đó, ta có: \[ \tan 45^\circ = \frac{h}{\sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2}} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \frac{h}{a\sqrt{2}} \] \[ 1 = \frac{h}{a\sqrt{2}} \Rightarrow h = a\sqrt{2} \] Vậy tọa độ của S là \( (0, a, a\sqrt{2}) \). Bước 3: Xác định vectơ SD và BH. - Vectơ SD: \( \overrightarrow{SD} = (0 - 0, 2a - a, 0 - a\sqrt{2}) = (0, a, -a\sqrt{2}) \) - Vectơ BH: \( \overrightarrow{BH} = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0) \) Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH. - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng: \[ d = \frac{|(\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH}) \cdot \overrightarrow{SH}|}{|\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH}|} \] Tính tích vector \( \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH} \): \[ \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a\sqrt{2} \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot 0 - (-a\sqrt{2}) \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-a\sqrt{2}) \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) \] \[ = \mathbf{i}(a^2\sqrt{2}) - \mathbf{j}(a^2\sqrt{2}) + \mathbf{k}(a^2) \] \[ = (a^2\sqrt{2}, -a^2\sqrt{2}, a^2) \] Tính độ dài của \( \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH} \): \[ |\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH}| = \sqrt{(a^2\sqrt{2})^2 + (-a^2\sqrt{2})^2 + (a^2)^2} = \sqrt{2a^4 + 2a^4 + a^4} = \sqrt{5a^4} = a^2\sqrt{5} \] Tính \( \overrightarrow{SH} \): \[ \overrightarrow{SH} = (0 - 0, a - a, 0 - a\sqrt{2}) = (0, 0, -a\sqrt{2}) \] Tính \( (\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH}) \cdot \overrightarrow{SH} \): \[ (\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{BH}) \cdot \overrightarrow{SH} = (a^2\sqrt{2}, -a^2\sqrt{2}, a^2) \cdot (0, 0, -a\sqrt{2}) = 0 + 0 + a^2(-a\sqrt{2}) = -a^3\sqrt{2} \] Cuối cùng, tính khoảng cách: \[ d = \frac{|-a^3\sqrt{2}|}{a^2\sqrt{5}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{a^2\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{10}}{5} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH là \( \frac{a\sqrt{10}}{5} \). Do đó, \( m = \frac{\sqrt{10}}{5} \). Tính \( \frac{3}{5}m^3 \): \[ \frac{3}{5}m^3 = \frac{3}{5} \left( \frac{\sqrt{10}}{5} \right)^3 = \frac{3}{5} \cdot \frac{10\sqrt{10}}{125} = \frac{30\sqrt{10}}{625} = \frac{6\sqrt{10}}{125} \] Đáp số: \( \frac{6\sqrt{10}}{125} \) Câu 2. Ngày 26/09/2024 là ngày thứ 268 của năm 2024, do đó ta có: \[ f(268) = 55740 \] \[ \frac{1}{300}(268)^3 + b(268)^2 + c(268) + 12000 = 55740 \] Ngày 25/11/2024 là ngày thứ 329 của năm 2024, do đó ta cần tính \( f(329) \). Để tìm \( b \) và \( c \), ta sử dụng thông tin về điểm cực đại của hàm số \( f(t) \). Ta biết rằng tại \( t = 268 \), hàm số đạt cực đại, do đó đạo hàm của \( f(t) \) tại điểm này bằng 0: \[ f'(t) = \frac{1}{100}t^2 + 2bt + c \] \[ f'(268) = 0 \] \[ \frac{1}{100}(268)^2 + 2b(268) + c = 0 \] Bây giờ ta có hai phương trình: 1. \( \frac{1}{300}(268)^3 + b(268)^2 + c(268) + 12000 = 55740 \) 2. \( \frac{1}{100}(268)^2 + 2b(268) + c = 0 \) Giải phương trình thứ hai để tìm \( c \): \[ \frac{1}{100}(268)^2 + 2b(268) + c = 0 \] \[ \frac{71824}{100} + 536b + c = 0 \] \[ 718.24 + 536b + c = 0 \] \[ c = -718.24 - 536b \] Thay \( c \) vào phương trình thứ nhất: \[ \frac{1}{300}(268)^3 + b(268)^2 + (-718.24 - 536b)(268) + 12000 = 55740 \] \[ \frac{1}{300}(20003752) + b(71824) - 718.24(268) - 536b(268) + 12000 = 55740 \] \[ 66679.1733 + 71824b - 192681.92 - 143328b + 12000 = 55740 \] \[ 66679.1733 - 71504b - 192681.92 + 12000 = 55740 \] \[ -71504b - 113902.7467 = 55740 - 66679.1733 - 12000 \] \[ -71504b - 113902.7467 = -22939.1733 \] \[ -71504b = -22939.1733 + 113902.7467 \] \[ -71504b = 90963.5734 \] \[ b = -\frac{90963.5734}{71504} \approx -1.272 \] Thay \( b \) vào phương trình \( c = -718.24 - 536b \): \[ c = -718.24 - 536(-1.272) \] \[ c = -718.24 + 681.152 \] \[ c = -37.088 \] Bây giờ ta có \( b \approx -1.272 \) và \( c \approx -37.088 \). Ta cần tính \( f(329) \): \[ f(329) = \frac{1}{300}(329)^3 + (-1.272)(329)^2 + (-37.088)(329) + 12000 \] \[ f(329) = \frac{1}{300}(35004669) + (-1.272)(108241) + (-37.088)(329) + 12000 \] \[ f(329) = 116682.23 + (-138067.272) + (-12206.752) + 12000 \] \[ f(329) = 116682.23 - 138067.272 - 12206.752 + 12000 \] \[ f(329) = 116682.23 - 150274.024 \] \[ f(329) = -33591.794 \] Do đó, số lượng cá thể sinh vật X vào ngày 25/11/2024 là khoảng 33592 con. Câu 3. Lần thứ nhất Lan chọn ra 2 viên bi khác màu, xác suất để lần thứ nhất Lan chọn được viên bi màu xanh là $\frac{1}{10}$ Lần thứ nhất Lan chọn ra 2 viên bi cùng màu, xác suất để lần thứ nhất Lan chọn được viên bi màu xanh là $\frac{1}{10}$ Xác suất lần thứ nhất Lan chọn được viên bi màu xanh là $\frac{1}{10}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{10}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{10}$ Vậy $a+b=1+10=11$