Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Tìm $x,y\in Z$,$Y=\frac{x^2-3x+7}{x+3}$

Question

Accepted Answer

Để tìm $ x, y \in \mathbb{Z} $ sao cho $ y = \frac{x^2 - 3x + 7}{x + 3} $, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức $ x^2 - 3x + 7 $ cho $ x + 3 $.

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức $ x^2 - 3x + 7 $ cho $ x + 3 $:

$$
\begin{array}{r|rr}
  & x & -6 \
\hline
x+3 & x^2 & -3x & +7 \
  & x^2 & +3x &   \
\hline
  &    & -6x & +7 \
  &    & -6x & -18 \
\hline
  &    &     & 25 \
\end{array}
$$

Kết quả của phép chia là $ x - 6 $ và dư là 25. Do đó, ta có:

$$
\frac{x^2 - 3x + 7}{x + 3} = x - 6 + \frac{25}{x + 3}
$$

Bước 2: Để $ y $ là số nguyên, thì $ \frac{25}{x + 3} $ cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là $ x + 3 $ phải là ước của 25. Các ước của 25 là: $ \pm 1, \pm 5, \pm 25 $.

Bước 3: Xét các trường hợp:

1. $ x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2 $
2. $ x + 3 = -1 \Rightarrow x = -4 $
3. $ x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2 $
4. $ x + 3 = -5 \Rightarrow x = -8 $
5. $ x + 3 = 25 \Rightarrow x = 22 $
6. $ x + 3 = -25 \Rightarrow x = -28 $

Bước 4: Thay các giá trị $ x $ vào biểu thức $ y = x - 6 + \frac{25}{x + 3} $:

1. $ x = -2 $:
   $$
   y = -2 - 6 + \frac{25}{-2 + 3} = -8 + 25 = 17
   $$
2. $ x = -4 $:
   $$
   y = -4 - 6 + \frac{25}{-4 + 3} = -10 - 25 = -35
   $$
3. $ x = 2 $:
   $$
   y = 2 - 6 + \frac{25}{2 + 3} = -4 + 5 = 1
   $$
4. $ x = -8 $:
   $$
   y = -8 - 6 + \frac{25}{-8 + 3} = -14 - 5 = -19
   $$
5. $ x = 22 $:
   $$
   y = 22 - 6 + \frac{25}{22 + 3} = 16 + 1 = 17
   $$
6. $ x = -28 $:
   $$
   y = -28 - 6 + \frac{25}{-28 + 3} = -34 - 1 = -35
   $$

Vậy các cặp số $ (x, y) $ thỏa mãn là:
$$
(-2, 17), (-4, -35), (2, 1), (-8, -19), (22, 17), (-28, -35)
$$