BÀI 1.
a) Ta thấy không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
chia hết cho 7.
Nhận xét: chia hết cho 7, chia hết cho 7.
Ta có:
Mà chia hết cho 7 (vì 8 chia cho 7 dư 1).
Vậy chia hết cho 7.
Do đó, (k là số tự nhiên).
b) Ta thấy không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
không chia hết cho 7.
Nhận xét: không chia hết cho 7, không chia hết cho 7.
Ta có:
Mà không chia hết cho 7 (vì 8 chia cho 7 dư 1).
Vậy không chia hết cho 7.
Do đó, không chia hết cho 7.
BÀI 2.
Để tìm tất cả các số nguyên tố sao cho , ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xét trường hợp :
Ta thấy:
Do đó, . Vậy không thỏa mãn.
2. Xét trường hợp là số nguyên tố lẻ:
Ta có:
Điều này có nghĩa là:
3. Áp dụng Định lý Fermat:
Theo Định lý Fermat, nếu là số nguyên tố và là số nguyên không chia hết cho , thì:
Áp dụng cho :
4. Xét :
Ta biết rằng:
Do đó:
Vì , ta có:
Điều này chỉ đúng khi .
5. Kiểm tra :
Ta cần kiểm tra:
Ta có:
Ta thấy:
Do đó:
Vậy:
Điều này đúng, do đó thỏa mãn.
Kết luận: Các số nguyên tố thỏa mãn là .
Đáp số: .
BÀI 3
Để chứng minh rằng với mọi số nguyên tố , tồn tại vô số số nguyên dương thỏa mãn , ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.
Bước 1: Áp dụng Định lý Fermat nhỏ
Theo định lý Fermat nhỏ, nếu là một số nguyên tố và là một số nguyên không chia hết cho , thì:
Áp dụng cho :
Bước 2: Xây dựng dãy số
Ta xét dãy số với là số nguyên dương.
Bước 3: Chứng minh
Thay vào biểu thức:
Theo định lý Fermat nhỏ:
Do đó:
Nhân cả hai vế với 2:
Vậy:
Bước 4: Kiểm tra
Ta thấy:
Do đó:
Bước 5: Kết luận
Từ các bước trên, ta có:
Vì vậy:
Điều này chứng tỏ rằng không chia hết cho . Tuy nhiên, ta đã chọn sao cho và , do đó:
Điều này chứng tỏ rằng với mọi số nguyên tố , tồn tại vô số số nguyên dương thỏa mãn .
Kết luận:
Với mọi số nguyên tố , tồn tại vô số số nguyên dương thỏa mãn .
BÀI 4
Để chứng minh rằng , ta sẽ chứng minh nó chia hết cho 2, 3, 7 và p.
1. Chia hết cho 2:
Ta thấy:
Do đó:
Vậy chia hết cho 2.
2. Chia hết cho 3:
Ta thấy:
Do đó:
Vậy chia hết cho 3.
3. Chia hết cho 7:
Ta thấy:
Vì và là số nguyên tố, nên không chia hết cho 6. Ta có thể viết với .
- Nếu , ta có:
Do đó:
- Nếu , ta có:
Do đó:
Vậy chia hết cho 7.
4. Chia hết cho p:
Ta thấy:
Do đó:
Vậy chia hết cho p.
Từ các kết quả trên, ta có chia hết cho 2, 3, 7 và p. Suy ra chia hết cho .
Đáp số: .