giải chi tiết

Câu 4: a) Ta có $T^\prime(x)=-20x+300.$ Doanh thu của tất cả gian hàng được biểu diễn bởi hàm số $T(x)=-10x^2+300x+C.$ Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng, ta có $T(10)=12000.$ Suy ra $-10\times 10^2+300\times 10+C=12000.$ Giải ra $C=10000.$ Vậy doanh thu của tất cả gian hàng được biểu diễn bởi hàm số $T(x)=-10x^2+300x+10000.$ b) Doanh thu của tất cả gian hàng khi người đó tăng giá thêm 12 triệu đồng là $T(12)=-10\times 12^2+300\times 12+10000=12280$ (triệu đồng). c) Ta có $T^\prime(x)=-20x+300.$ $T^\prime(x)=0\Leftrightarrow -20x+300=0\Leftrightarrow x=15.$ Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số $T(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=15.$ Vậy doanh thu cao nhất của tất cả gian hàng mà người đó có thể thu về là $T(15)=-10\times 15^2+300\times 15+10000=12250$ (triệu đồng). d) Để doanh thu cao nhất của tất cả gian hàng thì mỗi gian hàng đã tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng. Câu 1: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ, OA nằm trên trục Ox, OB nằm trên trục Oy và OC nằm trên trục Oz. - Điểm A có tọa độ $(\sqrt{6}, 0, 0)$. - Điểm B có tọa độ $(0, 2\sqrt{6}, 0)$. - Điểm C có tọa độ $(0, 0, 2\sqrt{6})$. Gọi M là trung điểm của BC, ta tính tọa độ của M: \[ M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{2\sqrt{6}+0}{2}, \frac{0+2\sqrt{6}}{2} \right) = (0, \sqrt{6}, \sqrt{6}) \] Bây giờ, ta viết phương trình của các đường thẳng OM và AB. Phương trình đường thẳng OM: \[ \frac{x}{0} = \frac{y}{\sqrt{6}} = \frac{z}{\sqrt{6}} \] Hay viết dưới dạng vector: \[ \vec{OM} = t(\vec{i} + \vec{j}) \] Phương trình đường thẳng AB: \[ \frac{x - \sqrt{6}}{-\sqrt{6}} = \frac{y - 0}{2\sqrt{6}} = \frac{z - 0}{0} \] Hay viết dưới dạng vector: \[ \vec{AB} = s(-\vec{i} + 2\vec{j}) \] Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này. Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{a_1} - \vec{a_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|} \] Trong đó: - $\vec{a_1} = (0, 0, 0)$ (gốc tọa độ O) - $\vec{a_2} = (\sqrt{6}, 0, 0)$ (điểm A) - $\vec{d_1} = (1, 1, 1)$ (vector chỉ phương của OM) - $\vec{d_2} = (-1, 2, 0)$ (vector chỉ phương của AB) Tính tích vector $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$: \[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) \] \[ = \vec{i}(-2) - \vec{j}(1) + \vec{k}(3) = (-2, -1, 3) \] Tính độ dài của $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$: \[ |\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] Tính $(\vec{a_1} - \vec{a_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})$: \[ \vec{a_1} - \vec{a_2} = (0 - \sqrt{6}, 0 - 0, 0 - 0) = (-\sqrt{6}, 0, 0) \] \[ (\vec{a_1} - \vec{a_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = (-\sqrt{6}, 0, 0) \cdot (-2, -1, 3) = (-\sqrt{6})(-2) + 0(-1) + 0(3) = 2\sqrt{6} \] Cuối cùng, ta tính khoảng cách: \[ d = \frac{|2\sqrt{6}|}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2 \cdot 7}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB là: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{21}}{7}} \]