Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau tại O. Gọi I là trung điểm của OB. Tia CI cắt đường tròn (O) tại E. Gọi H là giao điểm của AE và CD.
a, Chứng minh rằng tứ giác OIED nội tiếp.
b, Tính tích AH.AE theo R và chứng minh rằng OA= 3OH

Question

t lâm · Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{CED} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{DEI} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $OIED$ có $\widehat{DOE} = 90^\circ$ (gt), $\widehat{DEI} = 90^\circ$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{DOE} + \widehat{DEI} = 180^\circ$.

Vậy tứ giác $OIED$ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$).

b) Tam giác $AEC$ vuông tại $E$, $H$ là trung điểm của $CD$ nên $EH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$ của tam giác $AEC$, do đó $EH = \dfrac{1}{2} AC = CH = HD$.

Khi đó $\widehat{HEC} = \widehat{HCE}$ (Tam giác $HEC$ cân tại $H$).

Mà $\widehat{HCE} = \widehat{ABE}$ (Cùng chắn cung $AE$) $\Rightarrow \widehat{HEC} = \widehat{ABE}$.

Mặt khác $\widehat{HEC} + \widehat{AEH} = 90^\circ$ (Do $CD \perp AB$), $\widehat{ABE} + \widehat{BAE} = 90^\circ$ (Tam giác $ABE$ vuông tại $E$).

$\Rightarrow \widehat{AEH} = \widehat{BAE}$.

Xét tam giác $AEH$ và tam giác $BAE$ có:

$\widehat{AEH} = \widehat{BAE}$ (cmt), $\widehat{HAE}$ chung

$\Rightarrow riangle AEH \sim riangle BAE$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AH}{AB} \Rightarrow AH.AE = AB.HE$.

Mà $AB = 2R, HE = \dfrac{1}{2}AC$.

Theo định lý Pitago, ta có $AC = \sqrt{AO^2 + OC^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$

$\Rightarrow HE = \dfrac{1}{2} R\sqrt{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $AH.AE = 2R. \dfrac{R\sqrt{2}}{2} = R^2 \sqrt{2}$.

* Chứng minh $OA = 3OH$:

Gọi $M$ là trung điểm của $OA$ $\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2} OA = \dfrac{R}{2}$.

Ta có $I$ là trung điểm của $OB$ $\Rightarrow OI = \dfrac{1}{2} OB = \dfrac{R}{2}$.

Vậy $OM = OI \Rightarrow O$ là trung điểm của $MI$.

Xét tam giác $AMI$ có $O$ là trung điểm của $MI$, $H$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow OH$ là đường trung bình của tam giác $AMI$

$\Rightarrow OH = \dfrac{1}{2} AM = \dfrac{1}{2}. \dfrac{OA}{2} = \dfrac{OA}{4}$.

Vậy $OA = 4OH$.

Timi · Answer

a, Ta có $\widehat{OIE} = \widehat{ODE}$ (cùng chắn cung OE) nên tứ giác OIED nội tiếp.
b, Ta có $\widehat{AHE} = \widehat{OIE}$ (hai góc so le trong) và $\widehat{OIE} = \widehat{ODE}$ (cùng chắn cung OE) nên $\widehat{AHE} = \widehat{ODE}$.
Mặt khác, ta có $\widehat{HAE} = \widehat{EDO}$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) nên tam giác AHE đồng dạng với tam giác DOE (g.g).
Từ đó ta có $\frac{AH}{DO} = \frac{AE}{DE}$ hay $AH.DE = DO.AE$.
Ta có $DO = \frac{R}{2}$ và $DE = R$ nên $AH.R = \frac{R}{2}.AE$ hay $AH.AE = \frac{R^2}{2}$.
Từ đó ta có $\frac{OA}{OH} = \frac{DE}{HE} = \frac{R}{\frac{R}{3}} = 3$ nên $OA = 3.OH$.

Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau tại O. Gọi I là trung điểm của OB. Tia CI cắt đường tròn (O) tại E. Gọi H là giao điểm của AE và CD. a, Chứng minh rằng tứ giác OIED n...