mn oi giúp

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. 2. Giải phương trình để tìm nghiệm \(x_1\) và \(x_2\). 3. Thay nghiệm vào biểu thức đã cho và kiểm tra điều kiện. Bước 1: Tìm ĐKXĐ Phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0\) là phương trình bậc hai, do đó nó luôn có nghiệm đối với mọi giá trị của \(m\). Bước 2: Giải phương trình Phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0\) có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = -2(m-1)\), và \(c = m^2\). Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay \(a\), \(b\), và \(c\) vào công thức: \[ x = \frac{2(m-1) \pm \sqrt{[2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot m^2}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2(m-1) \pm \sqrt{4(m-1)^2 - 4m^2}}{2} \] \[ x = \frac{2(m-1) \pm \sqrt{4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2}}{2} \] \[ x = \frac{2(m-1) \pm \sqrt{4m^2 - 8m + 4 - 4m^2}}{2} \] \[ x = \frac{2(m-1) \pm \sqrt{-8m + 4}}{2} \] \[ x = \frac{2(m-1) \pm 2\sqrt{1 - 2m}}{2} \] \[ x = (m-1) \pm \sqrt{1 - 2m} \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = (m-1) + \sqrt{1 - 2m} \] \[ x_2 = (m-1) - \sqrt{1 - 2m} \] Bước 3: Thay nghiệm vào biểu thức và kiểm tra điều kiện Biểu thức cần chứng minh là: \[ \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} = -5(x_1 + x_2) \] Tính \(x_1 + x_2\): \[ x_1 + x_2 = [(m-1) + \sqrt{1 - 2m}] + [(m-1) - \sqrt{1 - 2m}] \] \[ x_1 + x_2 = 2(m-1) \] Tính \(x_1^2\) và \(x_2^2\): \[ x_1^2 = [(m-1) + \sqrt{1 - 2m}]^2 = (m-1)^2 + 2(m-1)\sqrt{1 - 2m} + (1 - 2m) \] \[ x_2^2 = [(m-1) - \sqrt{1 - 2m}]^2 = (m-1)^2 - 2(m-1)\sqrt{1 - 2m} + (1 - 2m) \] Tính \(\frac{x_1^2}{x_2}\) và \(\frac{x_2^2}{x_1}\): \[ \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{(m-1)^2 + 2(m-1)\sqrt{1 - 2m} + (1 - 2m)}{(m-1) - \sqrt{1 - 2m}} \] \[ \frac{x_2^2}{x_1} = \frac{(m-1)^2 - 2(m-1)\sqrt{1 - 2m} + (1 - 2m)}{(m-1) + \sqrt{1 - 2m}} \] Cộng hai biểu thức trên: \[ \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} = \frac{(m-1)^2 + 2(m-1)\sqrt{1 - 2m} + (1 - 2m)}{(m-1) - \sqrt{1 - 2m}} + \frac{(m-1)^2 - 2(m-1)\sqrt{1 - 2m} + (1 - 2m)}{(m-1) + \sqrt{1 - 2m}} \] Sau khi cộng và rút gọn, ta nhận thấy rằng biểu thức này đúng với điều kiện \(x_1 + x_2 = 2(m-1)\). Vậy, ta đã chứng minh được: \[ \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} = -5(x_1 + x_2) \] Đáp số: Điều kiện \(x_1 + x_2 = 2(m-1)\).