Soss mn oii

Câu 19. Để phương trình $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$. Ta có: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(2m - 3) = 4m^2 - 8m + 12 = 4(m^2 - 2m + 3) \] Phương trình có hai nghiệm khi: \[ m^2 - 2m + 3 \geq 0 \] Bất đẳng thức này luôn đúng vì $m^2 - 2m + 3 = (m - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0$. Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m \] \[ x_1 x_2 = 2m - 3 \] Ta cần tìm $m$ sao cho: \[ x_1^2 + x_2^2 = 9 \] Biến đổi: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay vào: \[ 9 = (2m)^2 - 2(2m - 3) \] \[ 9 = 4m^2 - 4m + 6 \] \[ 4m^2 - 4m - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng $am^2 + bm + c = 0$, ta giải bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 4$, $b = -4$, $c = -3$: \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} \] \[ m = \frac{4 \pm 8}{8} \] Do đó: \[ m = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \] Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = \frac{3}{2}$ và $m = -\frac{1}{2}$. Câu 20. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB, ta sẽ hình thành được một khối trụ có chiều cao bằng AB và đường kính đáy bằng AD. Chiều cao của khối trụ là: \[ h = AB = 3 \text{ cm} \] Bán kính đáy của khối trụ là: \[ r = \frac{AD}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm} \] Thể tích của khối trụ được tính theo công thức: \[ V = \pi r^2 h \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V = 3.14 \times (2.5)^2 \times 3 \] \[ V = 3.14 \times 6.25 \times 3 \] \[ V = 3.14 \times 18.75 \] \[ V = 58.875 \text{ cm}^3 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V \approx 59 \text{ cm}^3 \] Đáp số: 59 cm³ Câu 21. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. 2. Tìm trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. 3. Xác định trực tâm của tam giác BPQ. 4. Tính tỉ số giữa OH và CD. Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. - Đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD. - Tiếp tuyến tại A cắt BC tại E và BD tại F. - P và Q lần lượt là trung điểm của AE và AF. - H là trực tâm của tam giác BPQ. Bước 2: Tìm trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. - P là trung điểm của AE, tức là P nằm chính giữa A và E. - Q là trung điểm của AF, tức là Q nằm chính giữa A và F. Bước 3: Xác định trực tâm của tam giác BPQ. - Trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó. - Ta cần vẽ các đường cao từ các đỉnh B, P, Q của tam giác BPQ để tìm giao điểm H. Bước 4: Tính tỉ số giữa OH và CD. - Vì O là tâm của đường tròn và CD là đường kính, nên O nằm chính giữa CD. - Ta cần tìm khoảng cách từ O đến H và so sánh với độ dài của CD. Do tính chất đối xứng và các đường thẳng vuông góc, ta có thể thấy rằng H nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác BPQ. Do đó, OH sẽ bằng một nửa độ dài của CD. Tỉ số giữa OH và CD là: \[ \frac{OH}{CD} = \frac{1}{2} \] Đáp số: \(\frac{OH}{CD} = \frac{1}{2}\) Câu 22. Gọi số viên bi màu đỏ là x (viên bi, điều kiện: x > 0). Tổng số viên bi trong túi là: 3 + x (viên bi). Xác suất của biến cố "Lấy được viên bi màu xanh" là: \[ \frac{3}{3 + x} = 0,6 \] Ta có phương trình: \[ \frac{3}{3 + x} = \frac{3}{5} \] Từ đó ta suy ra: \[ 3 + x = 5 \] Giải phương trình này: \[ x = 5 - 3 \] \[ x = 2 \] Vậy số viên bi màu đỏ là 2 viên bi. Tổng số viên bi trong túi là: \[ 3 + 2 = 5 \] Đáp số: 5 viên bi. Câu 1. a) Điều kiện của x là \( x > 0 \) và \( y > 0 \). b) Số sách giáo khoa mà hai lớp ủng hộ là: \[ 6x + 5y \text{ (quyển)} \] c) Số sách tham khảo mà hai lớp ủng hộ là: \[ 3x + 4y \text{ (quyển)} \] Phương trình biểu diễn số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn số sách tham khảo là: \[ 6x + 5y = 3x + 4y + 166 \] \[ 6x + 5y - 3x - 4y = 166 \] \[ 3x + y = 166 \] d) Tổng số sách mà hai lớp ủng hộ là: \[ 6x + 5y + 3x + 4y = 738 \] \[ 9x + 9y = 738 \] \[ x + y = 82 \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3x + y = 166 \\ x + y = 82 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = 82 - x \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 3x + (82 - x) = 166 \] \[ 3x + 82 - x = 166 \] \[ 2x + 82 = 166 \] \[ 2x = 166 - 82 \] \[ 2x = 84 \] \[ x = 42 \] Thay \( x = 42 \) vào \( y = 82 - x \): \[ y = 82 - 42 \] \[ y = 40 \] Vậy lớp 9A có 42 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Câu 2. a) Các hệ số của phương trình $x^2 - mx - m^2 = 0$ lần lượt là: - Hệ số $a = 1$ - Hệ số $b = -m$ - Hệ số $c = -m^2$ b) Với $m = 2$, phương trình trở thành: \[ x^2 - 2x - 4 = 0 \] Ta giải phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{5} \] Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \{1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}\} \] c) Ta kiểm tra tính chất của phương trình $x^2 - mx - m^2 = 0$ để xem nó có luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$ hay không. Phương trình có hai nghiệm phân biệt nếu: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] Áp dụng vào phương trình: \[ \Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2) \] \[ \Delta = m^2 + 4m^2 \] \[ \Delta = 5m^2 \] Vì $m^2 \geq 0$ với mọi giá trị của $m$, nên $5m^2 \geq 0$. Đặc biệt, $5m^2 > 0$ khi $m \neq 0$. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$ ngoại trừ $m = 0$. d) Với $m = -\frac{1}{2}$, phương trình trở thành: \[ x^2 + \frac{1}{2}x - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 0 \] \[ x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} = 0 \] Ta giải phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 1}}{2} \] \[ x = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}}{2} \] \[ x = \frac{-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \] Vậy hai nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \] Kiểm tra điều kiện $x_1^2 + x_2^2 = 3$: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right)^2 + \left( \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \right)^2 \] \[ = \frac{(-1 + \sqrt{5})^2}{16} + \frac{(-1 - \sqrt{5})^2}{16} \] \[ = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5 + 1 + 2\sqrt{5} + 5}{16} \] \[ = \frac{12}{16} \] \[ = \frac{3}{4} \] Như vậy, phương trình đã cho không thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 = 3$ khi $m = -\frac{1}{2}$. Câu 3. a) Ta có: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = 30$ cm b) Ta có: $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{24 \times 18}{30} = 14,4$ cm c) Ta có: $AM = \frac{AB \times AB}{BC} = \frac{24 \times 24}{30} = 19,2$ cm d) Ta có: $BH = AB - AM = 24 - 19,2 = 4,8$ cm e) Ta có: $CH = BC - BH = 30 - 4,8 = 25,2$ cm f) Ta có: $MH = CH - AM = 25,2 - 19,2 = 6$ cm g) Ta có: $HM = \frac{AC \times AC}{BC} = \frac{18 \times 18}{30} = 10,8$ cm Đáp số: a) 30 cm; b) 14,4 cm; c) 19,2 cm; d) 4,8 cm; e) 25,2 cm; f) 6 cm; g) 10,8 cm