cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao AD , BE , CF . Cắt nhau tại H . Kẻ đường kính AQ của đường tròn (O) . vẽ OM vuông góc với BC ( M thuộc BC ) . tính tỉ số OM/AH . chứng minh t...

Bài giải chi tiết:

1. Chứng minh tứ giác $AFHE$ nội tiếp

Xét tứ giác $AFHE$

-  Ta có $BE$ là đường cao của $\triangle ABC$, suy ra $BE \perp AC$, do đó $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (vì E thuộc AC và H thuộc $BE$).

-  Ta có $CF$ là đường cao của $\triangle ABC$, suy ra $CF \perp AB$, do đó $\widehat{AFH} = 90^\circ$ (vì F thuộc AB và H thuộc $CF$).

Xét tứ giác $AFHE$ có:

$\widehat{AEH} = 90^\circ$

$\widehat{AFH} = 90^\circ$

Hai đỉnh E và F cùng nhìn đoạn thẳng AH dưới một góc vuông ($90^\circ$).

Do đó, tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn có đường kính là AH.

(Cách khác: Trong tứ giác AFHE, tổng hai góc đối $\widehat{FAE} + \widehat{FHE} = \widehat{BAC} + \widehat{FHE}$.

Ta có $\widehat{AFH} = 90^\circ$ và $\widehat{AEH} = 90^\circ$.

Tổng các góc trong tứ giác AFHE là $360^\circ$:

$\widehat{FAE} + \widehat{AFH} + \widehat{FHE} + \widehat{HEA} = 360^\circ$

$\widehat{FAE} + 90^\circ + \widehat{FHE} + 90^\circ = 360^\circ$

$\widehat{FAE} + \widehat{FHE} + 180^\circ = 360^\circ$

$\widehat{FAE} + \widehat{FHE} = 180^\circ$

Vì tổng hai góc đối của tứ giác AFHE bằng $180^\circ$ nên tứ giác AFHE nội tiếp.)

2. Tính tỉ số $\frac{OM}{AH}$

-  Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ và $OM \perp BC$ (theo giả thiết), nên M là trung điểm của đoạn thẳng BC (đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó, và ngược lại, đường thẳng kẻ từ tâm vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó).

-  Kẻ đường kính AQ của đường tròn $(O)$

  Xét $\triangle ABQ$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có AQ là đường kính.

  Suy ra $\widehat{ABQ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

  Do đó, $BQ \perp AB$.

  Mà $CH \perp AB$ (vì CF là đường cao, H là trực tâm).

  Suy ra $BQ \parallel CH$ (vì cùng vuông góc với AB). (1)

-  Tương tự, xét $\triangle ACQ$ nội tiếp đường tròn (O) có AQ là đường kính.

  Suy ra $\widehat{ACQ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

  Do đó, $CQ \perp AC$.

  Mà $BH \perp AC$ (vì BE là đường cao, H là trực tâm).

  Suy ra $CQ \parallel BH$ (vì cùng vuông góc với AC). (2)

-  Từ (1) và (2), suy ra tứ giác BHCQ là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song).

-  Vì BHCQ là hình bình hành, nên hai đường chéo BC và HQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

  Mà M là trung điểm của BC (đã chứng minh ở trên).

  Suy ra M cũng là trung điểm của HQ.

-  Xét $\triangle AHQ$ có:

  O là trung điểm của AQ (vì AQ là đường kính của đường tròn (O)).

  M là trung điểm của HQ (đã chứng minh ở trên).

  Do đó, OM là đường trung bình của $\triangle AHQ$.

-  Theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:

  $OM \parallel AH$ và $OM = \frac{1}{2} AH$.

-  Từ $OM = \frac{1}{2} AH$, ta suy ra $AH = 2OM$.

  Vậy, tỉ số $\frac{OM}{AH} = \frac{OM}{2OM} = \frac{1}{2}$.

Kết luận:

a) Tứ giác $AFHE$ nội tiếp.

b) Tỉ số $\frac{OM}{AH} = \frac{1}{2}$.