Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=3\left(x^2+y^2\right)$ biết $x^2+y^2=xy+12$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $A = 3 (x^2 + y^2)$ với điều kiện $x^2 + y^2 = xy + 12$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt biến phụ và thiết lập mối quan hệ

Đặt $S = x^2 + y^2$. Khi đó, biểu thức $A$ cần tìm giá trị nhỏ nhất là $A = 3S$.

Theo điều kiện đề bài, ta có $x^2 + y^2 = xy + 12$, nghĩa là $S = xy + 12$.

Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để tìm khoảng giá trị của $xy$

Ta biết rằng với mọi số thực $x, y$:

1. Bất đẳng thức $(x-y)^2 \ge 0$:

  $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$

  $(x^2 + y^2) \ge 2xy$

  Thay $S = x^2 + y^2$ vào, ta được $S \ge 2xy$.

  Thay $S = xy+12$ vào bất đẳng thức trên:

  $xy + 12 \ge 2xy$

  $12 \ge 2xy - xy$

  $12 \ge xy$ (hay $xy \le 12$).

2. Bất đẳng thức $(x+y)^2 \ge 0$:

  $x^2 + 2xy + y^2 \ge 0$

  $(x^2 + y^2) \ge -2xy$

  Thay $S = x^2 + y^2$ vào, ta được $S \ge -2xy$.

  Thay $S = xy+12$ vào bất đẳng thức trên:

  $xy + 12 \ge -2xy$

  $12 \ge -2xy - xy$

  $12 \ge -3xy$

  Chia cả hai vế cho $-3$ và đổi chiều bất đẳng thức:

  $\frac{12}{-3} \le xy$

  $-4 \le xy$.

Bước 3: Xác định khoảng giá trị của $xy$

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có $-4 \le xy \le 12$.

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$

Ta có $S = xy + 12$. Để $S$ đạt giá trị nhỏ nhất, $xy$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của $xy$ là $-4$.

Khi $xy = -4$, giá trị của $S$ là $S = -4 + 12 = 8$.

Bước 5: Kiểm tra xem giá trị nhỏ nhất này có đạt được không

Để $xy = -4$ và $x^2+y^2 = 8$, ta cần tìm các số thực $x, y$ thỏa mãn.

Ta biết rằng $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Thay $x^2+y^2=8$ và $xy=-4$ vào:

$(x+y)^2 = 8 + 2(-4) = 8 - 8 = 0$.

Suy ra $x+y=0$, hay $y=-x$.

Thay $y=-x$ vào $xy = -4$:

$x(-x) = -4$

$-x^2 = -4$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$.

*  Nếu $x=2$, thì $y=-2$.

  Kiểm tra điều kiện ban đầu: $x^2+y^2 = 2^2+(-2)^2 = 4+4=8$.

  $xy+12 = 2(-2)+12 = -4+12=8$.

  Điều kiện $x^2+y^2 = xy+12$ được thỏa mãn.

*  Nếu $x=-2$, thì $y=2$.

  Kiểm tra điều kiện ban đầu: $x^2+y^2 = (-2)^2+2^2 = 4+4=8$.

  $xy+12 = (-2)(2)+12 = -4+12=8$.

  Điều kiện $x^2+y^2 = xy+12$ cũng được thỏa mãn.

Vậy, giá trị $S=8$ là giá trị nhỏ nhất có thể đạt được của $x^2+y^2$.

Bước 6: Tính giá trị nhỏ nhất của $A$

Giá trị nhỏ nhất của $A = 3S$ là $3 \times 8 = 24$.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $A$ là $24$.