Trả lời đúng sai

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0$ và $x=\frac{\pi}{2}$: - $f(0) = 2\sin(0) - 0 = 0$ - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 2 - \frac{\pi}{2}$ Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = 2\sin x - x$: - $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x) - \frac{d}{dx}(x) = 2\cos x - 1$ Phần c) Giải phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$: - $2\cos x - 1 = 0$ - $\cos x = \frac{1}{2}$ - Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, nghiệm duy nhất của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là $x = \frac{\pi}{3}$. Phần d) Tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$: - Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - $f(0) = 0$ - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\pi}{2}$ - $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ So sánh các giá trị: - $f(0) = 0$ - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\pi}{2} \approx 0.429$ - $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685$ Như vậy, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{3}$. Kết luận - Giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{3}$. Câu 2: a) Xe ô tô A dừng lại khi vận tốc của nó bằng 0. Ta có: \[ v_A(t) = 16 - 4t \] Đặt \( v_A(t) = 0 \): \[ 16 - 4t = 0 \] \[ 4t = 16 \] \[ t = 4 \text{ (giây)} \] b) Quãng đường \( S(t) \) mà ô tô A đi được trong thời gian \( t \) giây (kể từ khi hãm phanh) được tính theo công thức: \[ S(t) = \int_{0}^{t} v_A(\tau) \, d\tau \] Trong đó, \( v_A(\tau) = 16 - 4\tau \). Ta thực hiện phép tích phân: \[ S(t) = \int_{0}^{t} (16 - 4\tau) \, d\tau \] \[ S(t) = \left[ 16\tau - 2\tau^2 \right]_{0}^{t} \] \[ S(t) = 16t - 2t^2 \] c) Khoảng cách mà ô tô A đi được từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại (tức là khi \( t = 4 \) giây): \[ S(4) = 16 \cdot 4 - 2 \cdot 4^2 \] \[ S(4) = 64 - 32 \] \[ S(4) = 32 \text{ (mét)} \] d) Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô A và ô tô B là tổng của quãng đường mà ô tô A đi được từ khi hãm phanh đến khi dừng lại và khoảng cách tối thiểu yêu cầu: \[ \text{Khoảng cách an toàn} = S(4) + 5 \] \[ \text{Khoảng cách an toàn} = 32 + 5 \] \[ \text{Khoảng cách an toàn} = 37 \text{ (mét)} \] Đáp số: a) Thời điểm xe ô tô A dừng lại là 4s. b) Quãng đường \( S(t) \) mà ô tô A đi được trong thời gian \( t \) giây (kể từ khi hãm phanh) là \( S(t) = 16t - 2t^2 \). c) Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại xe ô tô A đi được quãng đường 32m. d) Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô A và ô tô B là 37m. Câu 3: a) Xác suất để có tên Hiền: Số học sinh lớp 12A là 30 học sinh. Số học sinh có tên Hiền là 3 học sinh. Xác suất để có tên Hiền là: \[ P(\text{Hiền}) = \frac{\text{số học sinh có tên Hiền}}{\text{số học sinh lớp 12A}} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ: Số học sinh nữ là 17 học sinh. Số học sinh nữ có tên Hiền là 1 học sinh. Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là: \[ P(\text{Hiền | Nữ}) = \frac{\text{số học sinh nữ có tên Hiền}}{\text{số học sinh nữ}} = \frac{1}{17} \] c) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam: Số học sinh nam là 30 - 17 = 13 học sinh. Số học sinh nam có tên Hiền là 2 học sinh. Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam là: \[ P(\text{Hiền | Nam}) = \frac{\text{số học sinh nam có tên Hiền}}{\text{số học sinh nam}} = \frac{2}{13} \] d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ: Số học sinh có tên Hiền là 3 học sinh. Số học sinh nữ có tên Hiền là 1 học sinh. Xác suất để bạn đó là bạn nữ là: \[ P(\text{Nữ | Hiền}) = \frac{\text{số học sinh nữ có tên Hiền}}{\text{số học sinh có tên Hiền}} = \frac{1}{3} \] Đáp số: a) $\frac{1}{10}$ b) $\frac{1}{17}$ c) $\frac{2}{13}$ d) $\frac{1}{3}$ Câu 4: a) Phương trình tham số của đường bay từ A đến B: - Vector AB = (760 - 0, 120 - 0, 10 - 0) = (760, 120, 10) - Đường thẳng đi qua điểm A(0, 0, 0) và có vector AB là (760, 120, 10) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 760t \\ y = 120t \\ z = 10t \end{array} \right., t \in [0, 1] \] b) Máy bay đi vào phạm vi kiểm soát không lưu (bán kính 100 km, tâm tại O(380, 60, 0)) tại thời điểm nào? - Tọa độ máy bay tại thời điểm t là (760t, 120t, 10t) - Khoảng cách từ máy bay đến trạm kiểm soát O(380, 60, 0): \[ d = \sqrt{(760t - 380)^2 + (120t - 60)^2 + (10t - 0)^2} \] - Máy bay đi vào phạm vi kiểm soát khi d = 100: \[ \sqrt{(760t - 380)^2 + (120t - 60)^2 + (10t)^2} = 100 \] \[ (760t - 380)^2 + (120t - 60)^2 + (10t)^2 = 100^2 \] \[ (760t - 380)^2 + (120t - 60)^2 + 100t^2 = 10000 \] Giải phương trình này để tìm t: \[ t = 0.5 \] c) Quãng đường từ A đến B theo đường bay: - Vector AB = (760, 120, 10) - Độ dài vector AB: \[ |AB| = \sqrt{760^2 + 120^2 + 10^2} = \sqrt{577600 + 14400 + 100} = \sqrt{592100} = 766 \text{ km} \] d) Nếu máy bay bay trong vùng kiểm soát trong 15 phút (0.25 giờ), nó sẽ bay đúng 1/6 quãng đường từ lúc vào đến khi ra khỏi vùng này: - Thời gian bay trong vùng kiểm soát là 0.25 giờ - Quãng đường bay trong vùng kiểm soát: \[ v = \frac{766 \text{ km}}{1.42 \text{ giờ}} = 540 \text{ km/giờ} \] \[ s = v \times t = 540 \times 0.25 = 135 \text{ km} \] - Quãng đường từ lúc vào đến khi ra khỏi vùng kiểm soát: \[ s_{total} = 135 \times 6 = 810 \text{ km} \] Đáp số: a) Phương trình tham số của đường bay từ A đến B: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 760t \\ y = 120t \\ z = 10t \end{array} \right., t \in [0, 1] \] b) Máy bay đi vào phạm vi kiểm soát không lưu tại thời điểm t = 0.5 c) Quãng đường từ A đến B theo đường bay là 766 km d) Nếu máy bay bay trong vùng kiểm soát trong 15 phút (0.25 giờ), nó sẽ bay đúng 1/6 quãng đường từ lúc vào đến khi ra khỏi vùng này.