Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn tâm O, đường kính AB cắt đoạn BC tại D. Gọi H là hình chiếu của A lên OC, tia AH cắt BC tại M. a) Chứng minh tứ giác AHDH nội tiếp. b) Chứng minh OH . OC =OA²...

a) Ta có $\widehat{AHD} = 90^\circ$ (vì AH là hình chiếu của A lên OC) $\widehat{AOD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Do đó, tứ giác AHDH nội tiếp (vì hai góc đối bằng 90°) b) Ta có $\widehat{OAH} = \widehat{OCA}$ (hai góc đồng vị) $\widehat{AOH} = \widehat{COA}$ (chung) Do đó, $\triangle OAH \sim \triangle OCA$ (g.g) Suy ra $\frac{OH}{OA} = \frac{OA}{OC}$ hay $OH \cdot OC = OA^2$ Ta có $\widehat{CDO} = \widehat{CAO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CO) $\widehat{COD} = \widehat{AOC}$ (chung) Do đó, $\triangle CDO \sim \triangle CAO$ (g.g) Suy ra $\frac{CD}{CO} = \frac{CO}{CA}$ hay $CD \cdot OB = CO \cdot DH$ c) Ta có $\widehat{DHB} = \widehat{DMB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB) $\widehat{DBH} = \widehat{MDB}$ (góc ngoài tam giác nội tiếp bằng góc nội tiếp cùng chắn cung DC) Do đó, $\triangle DHB \sim \triangle DMB$ (g.g) Suy ra $\frac{DH}{MB} = \frac{HB}{DM}$ hay $DM \cdot HB = DH \cdot MB$