bài tập về nhà

Câu 1 a) Tính giá trị biểu thức $A=2\sqrt{48}+3\sqrt{75}-2\sqrt{108}$ Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ 2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \times 3} = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \] \[ 3\sqrt{75} = 3\sqrt{25 \times 3} = 3 \times 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \] \[ 2\sqrt{108} = 2\sqrt{36 \times 3} = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \] Thay vào biểu thức: \[ A = 8\sqrt{3} + 15\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = (8 + 15 - 12)\sqrt{3} = 11\sqrt{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( 11\sqrt{3} \). b) Cho biểu thức \( A=\left(\frac{x+2\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right)\frac{1}{\sqrt{x}+1} \) (với \( x > 0; x \neq 4 \)) Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 4 \) Rút gọn biểu thức: \[ A = \left(\frac{x+2\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1} \] Chúng ta thấy rằng \( \frac{x+2\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}} \) và \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \) có thể được viết lại dưới dạng chung: \[ \frac{x+2\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \] Do đó: \[ A = \left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1} \] Tổng các phân số: \[ A = \left(\frac{\sqrt{x}+2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \left(\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1} \] Rút gọn tiếp: \[ A = \frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{2}{\sqrt{x}-2} \] Để \( A \) có giá trị nguyên, \( \frac{2}{\sqrt{x}-2} \) phải là số nguyên. Do đó, \( \sqrt{x} - 2 \) phải là ước của 2, tức là \( \sqrt{x} - 2 = \pm 1 \) hoặc \( \sqrt{x} - 2 = \pm 2 \). - \( \sqrt{x} - 2 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \) - \( \sqrt{x} - 2 = -1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \) - \( \sqrt{x} - 2 = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16 \) - \( \sqrt{x} - 2 = -2 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0 \) (loại vì \( x > 0 \)) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên là \( x = 1, 9, 16 \). c) Cho hàm số \( y = ax^2 \) (với \( a \neq 0 \)). Xác định \( a \) để đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(3;2) \). Thay tọa độ điểm \( A(3;2) \) vào phương trình hàm số: \[ 2 = a \cdot 3^2 \] \[ 2 = 9a \] \[ a = \frac{2}{9} \] Vậy giá trị của \( a \) là \( \frac{2}{9} \). Câu 2 a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=4\\x+y=5\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình lại ta có: \[ 2x - y + x + y = 4 + 5 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Thay \( x = 3 \) vào phương trình thứ hai: \[ 3 + y = 5 \] \[ y = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, 2) \). b) Biết rằng phương trình bậc hai $3x^2-6x+m=0$ có một nghiệm $x=\frac{3+\sqrt5}2.$ Tính tổng bình phương hai nghiệm. Gọi hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Ta biết rằng \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \). Theo định lý Vi-et, tổng của hai nghiệm: \[ x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \] Do đó: \[ x_2 = 2 - x_1 = 2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - (3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Tổng bình phương của hai nghiệm: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Tích của hai nghiệm theo định lý Vi-et: \[ x_1x_2 = \frac{m}{3} \] Ta đã biết \( x_1 + x_2 = 2 \), do đó: \[ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2 \cdot \frac{m}{3} = 4 - \frac{2m}{3} \] c) Giải bất phương trình: $7x-12=2x+9$. Chuyển các hạng tử về một vế: \[ 7x - 2x = 9 + 12 \] \[ 5x = 21 \] \[ x = \frac{21}{5} \] Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x = \frac{21}{5} \). Câu 3 Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là x và y (m, x > 0, y > 0). Theo đề bài, ta có: \[ xy = 360 \] Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 6 m thì diện tích không thay đổi, tức là: \[ (x - 6)(y + 2) = 360 \] Ta mở ngoặc và biến đổi phương trình: \[ xy + 2x - 6y - 12 = 360 \] Thay \( xy = 360 \) vào phương trình trên: \[ 360 + 2x - 6y - 12 = 360 \] \[ 2x - 6y - 12 = 0 \] \[ 2x - 6y = 12 \] \[ x - 3y = 6 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} xy = 360 \\ x - 3y = 6 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ x = 3y + 6 \] Thay \( x = 3y + 6 \) vào phương trình thứ nhất: \[ (3y + 6)y = 360 \] \[ 3y^2 + 6y = 360 \] \[ 3y^2 + 6y - 360 = 0 \] \[ y^2 + 2y - 120 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm 22}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ y = \frac{20}{2} = 10 \] \[ y = \frac{-24}{2} = -12 \] (loại vì y > 0) Vậy \( y = 10 \). Thay \( y = 10 \) vào \( x = 3y + 6 \): \[ x = 3 \times 10 + 6 = 36 \] Chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là 36 m và 10 m. Chu vi của mảnh vườn là: \[ 2(x + y) = 2(36 + 10) = 2 \times 46 = 92 \text{ m} \] Đáp số: 92 m. Câu 4 Để tính chiều cao của ngọn tháp, ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất. Cụ thể, ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của tang (tangent) của góc này. Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và cần tìm. - Chiều dài bóng của ngọn tháp: 12,5 m - Góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất: $47^\circ 25'$ Bước 2: Áp dụng công thức tỉ số lượng giác của tang. \[ \tan(47^\circ 25') = \frac{\text{Chiều cao của ngọn tháp}}{\text{Chiều dài bóng của ngọn tháp}} \] Bước 3: Tìm giá trị của $\tan(47^\circ 25')$. Ta có thể sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm giá trị của $\tan(47^\circ 25')$. \[ \tan(47^\circ 25') \approx 1,081 \] Bước 4: Thay các giá trị vào công thức và giải phương trình. \[ 1,081 = \frac{\text{Chiều cao của ngọn tháp}}{12,5} \] \[ \text{Chiều cao của ngọn tháp} = 1,081 \times 12,5 \] \[ \text{Chiều cao của ngọn tháp} \approx 13,5125 \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất. \[ \text{Chiều cao của ngọn tháp} \approx 13,5 \text{ m} \] Vậy chiều cao của ngọn tháp là khoảng 13,5 m. Câu 5 a) Ta có $\widehat{AIB}=\widehat{AQB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{AIB}+\widehat{AQB}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác CIHQ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°) b) Ta có $\widehat{CAI}=\widehat{CBQ}$ (cùng bù với $\widehat{ACB})$ $\widehat{AIC}=\widehat{BQC}$ (cùng bằng $\widehat{AHC})$ $\Rightarrow \triangle CAI \sim \triangle CBQ$ (g-g) $\Rightarrow \frac{CI}{CQ}=\frac{AI}{BQ}$ Mặt khác ta có $\widehat{CAI}=\widehat{CBQ}$ (chứng minh trên) $\widehat{AIC}=\widehat{BQC}$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \triangle CAI \sim \triangle CBQ$ (g-g) $\Rightarrow \frac{CI}{CQ}=\frac{AI}{BQ}$ $\Rightarrow CI \times BQ = CQ \times AI$ $\Rightarrow CI \times Al = Hl \times Bl$ (vì $BQ = Bl, CQ = Hl)$ Câu 6 Để tính diện tích giấy carton cần thiết để làm một hộp chè hình trụ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích xung quanh của hộp chè hình trụ: Diện tích xung quanh của một hình trụ được tính bằng công thức: \[ S_{xq} = 2 \pi r h \] Trong đó: - \( r \) là bán kính đáy của hình trụ. - \( h \) là chiều cao của hình trụ. Với đường kính đáy là 8 cm, bán kính \( r \) sẽ là: \[ r = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \] Chiều cao \( h \) là 12 cm. Do đó, diện tích xung quanh là: \[ S_{xq} = 2 \times 3,14 \times 4 \times 12 = 301,44 \text{ cm}^2 \] 2. Tính diện tích hai đáy của hộp chè hình trụ: Diện tích một đáy của hình trụ được tính bằng công thức: \[ S_{day} = \pi r^2 \] Do đó, diện tích một đáy là: \[ S_{day} = 3,14 \times 4^2 = 3,14 \times 16 = 50,24 \text{ cm}^2 \] Vì có hai đáy, nên tổng diện tích hai đáy là: \[ S_{2day} = 2 \times 50,24 = 100,48 \text{ cm}^2 \] 3. Tính tổng diện tích bề mặt của hộp chè hình trụ: Tổng diện tích bề mặt của hộp chè hình trụ là tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy: \[ S_{tong} = S_{xq} + S_{2day} = 301,44 + 100,48 = 401,92 \text{ cm}^2 \] 4. Tính diện tích giấy carton cần thiết, bao gồm phần hao hụt: Phần hao hụt là 5%, do đó diện tích giấy carton cần thiết là: \[ S_{carton} = S_{tong} \times (1 + 0,05) = 401,92 \times 1,05 = 422,016 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích giấy carton cần thiết để làm một hộp chè là 422,016 cm². Câu 7 a) Tỉ lệ số ngày An học từ 2 giờ đến dưới 3 giờ là: \[ \frac{12}{31} \] b) Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100, tức là từ 10 đến 99. Số lượng các số tự nhiên này là: \[ 99 - 10 + 1 = 90 \] - Biến cố B: "Số tự nhiên được viết ra là số chẵn" Các số chẵn có hai chữ số từ 10 đến 98 là: \[ 10, 12, 14, ..., 98 \] Số lượng các số chẵn này là: \[ \frac{98 - 10}{2} + 1 = 45 \] Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{45}{90} = \frac{1}{2} \] - Biến cố C: "Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên" Các số tự nhiên có hai chữ số là bình phương của các số từ 4 đến 9 (vì \(4^2 = 16\) và \(9^2 = 81\)): \[ 16, 25, 36, 49, 64, 81 \] Số lượng các số này là 6. Xác suất của biến cố C là: \[ P(C) = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] Câu 8 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Điều kiện xác định: $x > 0$ và $y > 0$. Bước 2: Biến đổi biểu thức: Ta có: \[ (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = (x + y)\left(\frac{x + y}{xy}\right) = \frac{(x + y)^2}{xy} \] Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (x + y)^2 \geq 4xy \] Do đó: \[ \frac{(x + y)^2}{xy} \geq \frac{4xy}{xy} = 4 \] Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất: Biểu thức $\frac{(x + y)^2}{xy}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $(x + y)^2 = 4xy$. Điều này xảy ra khi $x = y$. Khi $x = y$, ta thay vào biểu thức: \[ (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = (x + x)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x}\right) = 2x \cdot \frac{2}{x} = 4 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$ là 4, đạt được khi $x = y$. Đáp số: 4