Giải giúp em câu 4, câu 1 với ạ Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140m và có,thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km,,được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm,cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã,thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả,sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể,ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển. Coi,Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa,độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị,độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc,độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;20;0)$ đến điểm $N(-6;-12;16).$,a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=6+3t\y=20+8t,(t\in\mathbb{R}).\z=-4t\end{array} ight.$,b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm,$A(-3;-4;12).$,c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo,dõi của hệ thống quan sát là 18 900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).,d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3,phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút.,Trang 3/4,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có $AB=5,BC=6,CA=7.$ Khoảng cách giữa hai,đường thẳng AA'và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Question

Giải giúp em câu 4, câu 1 với ạ Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140m và có,thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/cbc7c4df907b4a2aa5b1000866ce6391.jpg />,được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm,cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã,thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả,sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể,ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển. Coi,Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa,độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị,độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc,độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;20;0)$ đến điểm $N(-6;-12;16).$,a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=6+3t\y=20+8t,(t\in\mathbb{R}).\z=-4t\end{array}ight.$,b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm,$A(-3;-4;12).$,c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo,dõi của hệ thống quan sát là 18 900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).,d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3,phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút.,Trang 3/4,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có $AB=5,BC=6,CA=7.$ Khoảng cách giữa hai,đường thẳng AA'và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Phương trình tham số của đường thẳng MN

Đường thẳng MN đi qua điểm $ M(6, 20, 0) $ và có vectơ chỉ phương là $ \overrightarrow{MN} = (-6 - 6, -12 - 20, 16 - 0) = (-12, -32, 16) $.

Phương trình tham số của đường thẳng MN là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 6 + (-12)t \
y = 20 + (-32)t \
z = 0 + 16t
\end{array}
\right.
$$

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát

Hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển, tức là bán kính 6 400 km + 6 600 km = 13 000 km.

Phương trình mặt cầu có tâm tại O(0, 0, 0) và bán kính 13 000 km (đơn vị 1 000 km):
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 13^2 = 169 $$

Thay phương trình tham số của đường thẳng MN vào phương trình mặt cầu:
$$ (6 - 12t)^2 + (20 - 32t)^2 + (16t)^2 = 169 $$

Giải phương trình này để tìm giá trị của $ t $:
$$ (6 - 12t)^2 + (20 - 32t)^2 + (16t)^2 = 169 $$
$$ 36 - 144t + 144t^2 + 400 - 1280t + 1024t^2 + 256t^2 = 169 $$
$$ 1424t^2 - 1424t + 436 = 169 $$
$$ 1424t^2 - 1424t + 267 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ t = \frac{1424 \pm \sqrt{1424^2 - 4 \cdot 1424 \cdot 267}}{2 \cdot 1424} $$
$$ t = \frac{1424 \pm \sqrt{2027776 - 1499904}}{2848} $$
$$ t = \frac{1424 \pm \sqrt{527872}}{2848} $$
$$ t = \frac{1424 \pm 726.5}{2848} $$

Có hai nghiệm:
$$ t_1 = \frac{1424 + 726.5}{2848} \approx 0.75 $$
$$ t_2 = \frac{1424 - 726.5}{2848} \approx 0.24 $$

Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là khi $ t = 0.24 $:
$$ x = 6 + (-12) \cdot 0.24 = -3 $$
$$ y = 20 + (-32) \cdot 0.24 = -4 $$
$$ z = 16 \cdot 0.24 = 12 $$

Vậy điểm A là $ (-3, -4, 12) $.

c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng

Vị trí cuối cùng khi $ t = 0.75 $:
$$ x = 6 + (-12) \cdot 0.75 = -3 $$
$$ y = 20 + (-32) \cdot 0.75 = -4 $$
$$ z = 16 \cdot 0.75 = 12 $$

Khoảng cách giữa hai điểm:
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$
$$ d = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-4 - (-4))^2 + (12 - 12)^2} $$
$$ d = \sqrt{0 + 0 + 0} = 0 $$

d) Thời gian di chuyển từ M đến N

Thời gian di chuyển trong phạm vi theo dõi là 3 phút, tức là từ $ t = 0.24 $ đến $ t = 0.75 $.

Tổng thời gian di chuyển từ M đến N là:
$$ t_{total} = \frac{0.75 - 0.24}{0.75 - 0.24} \times 3 = 6 \text{ phút} $$

Kết luận
a) Phương trình tham số của đường thẳng MN là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 6 - 12t \
y = 20 - 32t \
z = 16t
\end{array}
\right.
$$

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $ A(-3, -4, 12) $.

c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 0 km.

d) Thời gian di chuyển từ M đến N là 6 phút.

Câu 1.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC trong hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích tam giác ABC:
   - Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC.
   - Bán kính nửa chu vi của tam giác ABC là:
     $$
     p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9
     $$
   - Diện tích tam giác ABC là:
     $$
     S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}
     $$

2. Tính chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC:
   - Chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC là:
     $$
     h_A = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \times 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}
     $$

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC:
   - Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên khoảng cách giữa AA' và BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
   - Khoảng cách này chính là chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC đã tính ở trên.

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC là:
$$
2\sqrt{6} \approx 4.9
$$

Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC là 4.9 (đơn vị).