giải giúp mình b2) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m RƯỜ,b3) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt,$x_1,x_2$ thỏa mãn: $x_1(3+x_1)+x_2(3+x_2)=-4$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết phần b2) và b3) của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình (1)
Phương trình (1) chưa được cung cấp trong câu hỏi. Giả sử phương trình (1) là:
$$ x^2 + mx + n = 0 $$

Bước 2: Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Để chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, ta cần kiểm tra tính chất của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $ luôn có nghiệm nếu $ a \neq 0 $ và $ b^2 - 4ac \geq 0 $.

Trong phương trình (1):
- $ a = 1 $
- $ b = m $
- $ c = n $

Ta có:
$$ b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot n = m^2 - 4n $$

Để phương trình luôn có nghiệm, ta cần:
$$ m^2 - 4n \geq 0 $$

Do đó, phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m nếu $ n \leq \frac{m^2}{4} $.

Bước 3: Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ x_1, x_2 $ thỏa mãn: $ x_1(3 + x_1) + x_2(3 + x_2) = -4 $
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ x_1 $ và $ x_2 $. Ta có:
$$ x_1 + x_2 = -m $$
$$ x_1 x_2 = n $$

Theo đề bài, ta cần:
$$ x_1(3 + x_1) + x_2(3 + x_2) = -4 $$

Ta biến đổi biểu thức:
$$ x_1(3 + x_1) + x_2(3 + x_2) = 3(x_1 + x_2) + x_1^2 + x_2^2 $$

Thay $ x_1 + x_2 = -m $ vào:
$$ 3(-m) + x_1^2 + x_2^2 = -4 $$
$$ -3m + x_1^2 + x_2^2 = -4 $$

Biến đổi thêm:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = (-m)^2 - 2n $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2n $$

Thay vào phương trình:
$$ -3m + m^2 - 2n = -4 $$
$$ m^2 - 3m - 2n = -4 $$
$$ m^2 - 3m - 2n + 4 = 0 $$

Để phương trình này có nghiệm, ta cần:
$$ m^2 - 3m + 4 = 2n $$

Do đó, các giá trị của m thỏa mãn:
$$ n = \frac{m^2 - 3m + 4}{2} $$

Kết luận:
- Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m nếu $ n \leq \frac{m^2}{4} $.
- Các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ x_1, x_2 $ thỏa mãn $ x_1(3 + x_1) + x_2(3 + x_2) = -4 $ là:
$$ n = \frac{m^2 - 3m + 4}{2} $$