rút gọn biểu thức đúg côg thức Rút gọn biểu thức $B=\frac{x\sqrt x+y\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}-(\sqrt x-\sqrt y)^2$ với $x0,~y0$

Question

rút gọn biểu thức đúg côg thức Rút gọn biểu thức $B=\frac{x\sqrt x+y\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}-(\sqrt x-\sqrt y)^2$ với $x>0,~y>0$

Accepted Answer

Để rút gọn biểu thức $B=\frac{x\sqrt x+y\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}-(\sqrt x-\sqrt y)^2$ với $x>0,~y>0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn phân thức $\frac{x\sqrt x+y\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}$:
   Ta nhận thấy rằng $x\sqrt x = (\sqrt x)^3$ và $y\sqrt y = (\sqrt y)^3$. Do đó:
   $$
   \frac{x\sqrt x + y\sqrt y}{\sqrt x + \sqrt y} = \frac{(\sqrt x)^3 + (\sqrt y)^3}{\sqrt x + \sqrt y}
   $$
   Áp dụng công thức phân tích đa thức $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, ta có:
   $$
   \frac{(\sqrt x)^3 + (\sqrt y)^3}{\sqrt x + \sqrt y} = \frac{(\sqrt x + \sqrt y)((\sqrt x)^2 - \sqrt x \sqrt y + (\sqrt y)^2)}{\sqrt x + \sqrt y} = (\sqrt x)^2 - \sqrt x \sqrt y + (\sqrt y)^2 = x - \sqrt{xy} + y
   $$

2. Rút gọn $(\sqrt x - \sqrt y)^2$:
   Áp dụng công thức $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có:
   $$
   (\sqrt x - \sqrt y)^2 = (\sqrt x)^2 - 2\sqrt x \sqrt y + (\sqrt y)^2 = x - 2\sqrt{xy} + y
   $$

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
   $$
   B = (x - \sqrt{xy} + y) - (x - 2\sqrt{xy} + y)
   $$
   Thực hiện phép trừ:
   $$
   B = x - \sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y = \sqrt{xy}
   $$

Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành:
$$
B = \sqrt{xy}
$$