Giúp mình với! b) Nhân dịp Ngày sách và Văn hóa đọc Việt Nam, hai lớp 9A và 9B cùng tham gia ủng hộ,sách cho thư viện. Tổng số học sinh của hai lớp là 82. Mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 3 quyển,sách, còn mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 4 quyển sách. Tổng số sách hai lớp ủng hộ là 288,quyển. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?,Câu 13. (2,0 điểm),Cho $\Delta ABC$ nhọn có $ABAC,$ nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, CE cắt nhau,tại H $(D\in BC,E\in AB).$ Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BC, AB, AC lần lượt,tại M,N vàà P.,a) Chứng minh rằng tứ giác ACDE nội tiếp đường tròn và $\widehat{APN}=\widehat{CED}.$,b) Gọi I là trung điểm của PN. Chứng minh rằng $AP.BM=PI.HB$ và,IA vuông góc với MH.,Câu 14. (1,0 điểm).,a) Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả,bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả,bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200000 đồng cho mỗi máy. Khi được,thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả,cho người giám sát là 192000 đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt,động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?,b) Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:,$\sqrt{x+y-z}+\sqrt{y+z-x}+\sqrt{z+x-y}\leq\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z$,-----Hết-----

Question

Giúp mình với! b) Nhân dịp Ngày sách và Văn hóa đọc Việt Nam, hai lớp 9A và 9B cùng tham gia ủng hộ,sách cho thư viện. Tổng số học sinh của hai lớp là 82. Mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 3 quyển,sách, còn mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 4 quyển sách. Tổng số sách hai lớp ủng hộ là 288,quyển. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?,Câu 13. (2,0 điểm),Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB>AC,$ nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, CE cắt nhau,tại H $(D\in BC,E\in AB).$ Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BC, AB, AC lần lượt,tại M,N vàà P.,a) Chứng minh rằng tứ giác ACDE nội tiếp đường tròn và $\widehat{APN}=\widehat{CED}.$,b) Gọi I là trung điểm của PN. Chứng minh rằng $AP.BM=PI.HB$ và,IA vuông góc với MH.,Câu 14. (1,0 điểm).,a) Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả,bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả,bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200000 đồng cho mỗi máy. Khi được,thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả,cho người giám sát là 192000 đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt,động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?,b) Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:,$\sqrt{x+y-z}+\sqrt{y+z-x}+\sqrt{z+x-y}\leq\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z$,-----Hết-----

Accepted Answer

Gọi số học sinh lớp 9A là x (em, điều kiện: x > 0).

Số học sinh lớp 9B là 82 - x (em).

Tổng số sách lớp 9A ủng hộ là 3x (quyển).

Tổng số sách lớp 9B ủng hộ là 4(82 - x) (quyển).

Theo đề bài, ta có phương trình:

3x + 4(82 - x) = 288

Giải phương trình này:

3x + 328 - 4x = 288

- x = 288 - 328

- x = -40

x = 40

Vậy số học sinh lớp 9A là 40 em.

Số học sinh lớp 9B là 82 - 40 = 42 (em).

Đáp số: Lớp 9A: 40 em, Lớp 9B: 42 em.

Câu 13.
a) Ta có $\widehat{AED}=\widehat{ADC}=90^\circ$ nên tứ giác ACDE nội tiếp đường tròn tâm O. 
$\widehat{APN}=\widehat{CED}$ vì cùng chắn cung AN. 
b) Ta có $\widehat{APN}=\widehat{CED}=\widehat{HBD}$ nên tam giác APN và HBM đồng dạng. 
Từ đó ta có $\frac{AP}{PN}=\frac{HB}{BM}$ hay $AP.BM=PI.HB$. 
Ta có $\widehat{PNA}=\widehat{HMB}$ nên $IA\perp MH$.

Câu 14.
a) Gọi số máy móc công ty sử dụng là x (máy, điều kiện: x > 0).

Thời gian để sản xuất 8000 quả bóng tennis là $\frac{8000}{30x} = \frac{800}{3x}$ (giờ).

Chi phí thiết lập các máy móc là 200000x đồng.

Chi phí trả cho người giám sát là $192000 	imes \frac{800}{3x} = \frac{153600000}{x}$ đồng.

Tổng chi phí sản xuất là $200000x + \frac{153600000}{x}$ đồng.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$200000x + \frac{153600000}{x} \geq 2 \sqrt{200000x \cdot \frac{153600000}{x}} = 2 \sqrt{200000 \cdot 153600000} = 2 \sqrt{30720000000000} = 2 \cdot 17520000 = 35040000$ (đồng).

Đẳng thức xảy ra khi $200000x = \frac{153600000}{x}$, tức là $x^2 = \frac{153600000}{200000} = 768$, suy ra $x = \sqrt{768} \approx 27.71$.

Vì x phải là số nguyên dương, nên ta chọn x = 28.

Vậy công ty nên sử dụng 28 máy móc để chi phí sản xuất là thấp nhất.

b) Ta có:

$(\sqrt{x+y-z} + \sqrt{y+z-x} + \sqrt{z+x-y})^2 = (x+y-z) + (y+z-x) + (z+x-y) + 2(\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)} + \sqrt{(y+z-x)(z+x-y)} + \sqrt{(z+x-y)(x+y-z)})$

$= x + y + z + 2(\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)} + \sqrt{(y+z-x)(z+x-y)} + \sqrt{(z+x-y)(x+y-z)})$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)} \leq \frac{x+y-z+y+z-x}{2} = y$

$\sqrt{(y+z-x)(z+x-y)} \leq \frac{y+z-x+z+x-y}{2} = z$

$\sqrt{(z+x-y)(x+y-z)} \leq \frac{z+x-y+x+y-z}{2} = x$

Do đó:

$(\sqrt{x+y-z} + \sqrt{y+z-x} + \sqrt{z+x-y})^2 \leq x + y + z + 2(y + z + x) = 3(x + y + z)$

$\sqrt{x+y-z} + \sqrt{y+z-x} + \sqrt{z+x-y} \leq \sqrt{3(x + y + z)}$

Mặt khác, ta có:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 = x + y + z + 2(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}) \geq x + y + z + 2(y + z + x) = 3(x + y + z)$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \geq \sqrt{3(x + y + z)}$

Vậy ta có:

$\sqrt{x+y-z} + \sqrt{y+z-x} + \sqrt{z+x-y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.