giải câu này chính xác chi tiết

Câu 1. Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \). Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \). Ta có: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - 1} \right) \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \] Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức. Phần 1: Rút gọn \( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - 1} \) Chúng ta viết lại \( \frac{1}{x - 1} \) dưới dạng \( \frac{1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \): \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Tìm mẫu chung và thực hiện phép trừ: \[ = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1 - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Phần 2: Rút gọn \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \) \[ = \frac{x - 1}{\sqrt{x}} \] Bước 3: Kết hợp các phần đã rút gọn lại. \[ P = \left( \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \left( \frac{x - 1}{\sqrt{x}} \right) \] Chúng ta thấy rằng \( \sqrt{x} \) ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ = \frac{(\sqrt{x} + 2)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức cuối cùng. \[ = \frac{(\sqrt{x} + 2)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Như vậy, biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 2)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Đáp số: \( P = \frac{(\sqrt{x} + 2)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \) Câu 2. 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}x-y=1&(1)\\2x+y=5&(2)\end{array}\right.$ Cộng (1) và (2): \[ (x - y) + (2x + y) = 1 + 5 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào (1): \[ 2 - y = 1 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, 1) \). 2. Bạn An có 90 nghìn đồng. Bạn muốn mua một bộ thước giá 15 nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá 8 nghìn đồng. Hỏi bạn An mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở? Số tiền còn lại sau khi mua bộ thước: \[ 90 - 15 = 75 \text{ (nghìn đồng)} \] Số quyển vở bạn An mua được nhiều nhất: \[ \left\lfloor \frac{75}{8} \right\rfloor = 9 \text{ (quyển vở)} \] Vậy bạn An mua được nhiều nhất 9 quyển vở. Câu 3. a. Với $m=2$, ta có phương trình $x^2-2x-2+3=0$ hay $x^2-2x+1=0$. Phương trình này có dạng $(x-1)^2=0$, do đó nghiệm kép là $x=1$. b. Để phương trình $x^2-2x-m+3=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-m+3) = 4 + 4m - 12 = 4m - 8 > 0 \] \[ 4m - 8 > 0 \implies m > 2 \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = -m + 3 \] Ta cần tìm $m$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 = 20$. Ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay vào ta được: \[ 20 = 2^2 - 2(-m + 3) \] \[ 20 = 4 + 2m - 6 \] \[ 20 = 2m - 2 \] \[ 22 = 2m \] \[ m = 11 \] Vậy $m = 11$ thỏa mãn điều kiện $\Delta > 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 20$. Đáp số: a. Nghiệm kép $x = 1$. b. $m = 11$. Câu 4. Gọi vận tốc của xe tải là \( v \) (km/h), điều kiện \( v > 0 \). Vì xe con xuất phát muộn hơn xe tải 40 phút, nên thời gian xe con đi sẽ ít hơn thời gian xe tải đi 40 phút. Thời gian xe tải đi từ A đến B là: \[ t_{tải} = \frac{200}{v} \text{ (giờ)} \] Thời gian xe con đi từ A đến B là: \[ t_{con} = \frac{200}{v + 10} \text{ (giờ)} \] Theo đề bài, hai xe đến B cùng một lúc, tức là thời gian xe con đi ít hơn thời gian xe tải đi 40 phút (tức là \(\frac{2}{3}\) giờ): \[ t_{tải} - t_{con} = \frac{2}{3} \] Thay các biểu thức của \( t_{tải} \) và \( t_{con} \) vào phương trình trên: \[ \frac{200}{v} - \frac{200}{v + 10} = \frac{2}{3} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{200(v + 10) - 200v}{v(v + 10)} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{2000}{v(v + 10)} = \frac{2}{3} \] Nhân cả hai vế với \( 3v(v + 10) \): \[ 6000 = 2v(v + 10) \] \[ 3000 = v(v + 10) \] \[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \cdot 3000}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 12000}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm 110}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ v = \frac{100}{2} = 50 \] \[ v = \frac{-120}{2} = -60 \] (loại vì \( v > 0 \)) Vậy vận tốc của xe tải là 50 km/h. Thời gian xe tải đi từ A đến B là: \[ t_{tải} = \frac{200}{50} = 4 \text{ (giờ)} \] Hai xe đến B cùng lúc, nên thời điểm đến B là: \[ 8 + 4 = 12 \text{ (giờ)} \] Đáp số: 12 giờ. Câu 5 1. Vẽ đồ thị hàm số: $y = 2x^2$ Đồ thị của hàm số $y = 2x^2$ là một parabol mở rộng lên trên, với đỉnh ở gốc tọa độ (0,0). Ta có thể vẽ đồ thị bằng cách tính giá trị của $y$ khi thay các giá trị khác nhau của $x$ vào phương trình. - Khi $x = 0$, ta có $y = 2(0)^2 = 0$. Điểm $(0, 0)$ thuộc đồ thị. - Khi $x = 1$, ta có $y = 2(1)^2 = 2$. Điểm $(1, 2)$ thuộc đồ thị. - Khi $x = -1$, ta có $y = 2(-1)^2 = 2$. Điểm $(-1, 2)$ thuộc đồ thị. - Khi $x = 2$, ta có $y = 2(2)^2 = 8$. Điểm $(2, 8)$ thuộc đồ thị. - Khi $x = -2$, ta có $y = 2(-2)^2 = 8$. Điểm $(-2, 8)$ thuộc đồ thị. 2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng: $y = 2x + 1$ Để tìm giao điểm của hai đồ thị, ta cần giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 2x + 1 \end{cases} \] Bằng cách thay $y$ từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, ta có: \[ 2x^2 = 2x + 1 \] Rearrange the equation to standard form: \[ 2x^2 - 2x - 1 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với $a = 2$, $b = -2$, và $c = -1$. \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} \] \[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \] Vậy ta có hai giá trị của $x$: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \] Thay các giá trị của $x$ này vào phương trình $y = 2x + 1$ để tìm các giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$: \[ y = 2 \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right) + 1 = 1 + \sqrt{3} + 1 = 2 + \sqrt{3} \] - Khi $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$: \[ y = 2 \left( \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right) + 1 = 1 - \sqrt{3} + 1 = 2 - \sqrt{3} \] Vậy giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2x^2$ với đường thẳng $y = 2x + 1$ là: \[ \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 2 + \sqrt{3} \right) \quad \text{và} \quad \left( \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 2 - \sqrt{3} \right) \] Câu 6 a. Lập bảng tần số tương đối: - Tổng số bạn học sinh được phỏng vấn: \[ 5 + 24 + 15 + 6 = 50 \] - Tần số tương đối của mỗi màu mực: \[ \text{Tần số tương đối của màu xanh đen} = \frac{5}{50} = 0.1 = 10\% \\ \text{Tần số tương đối của màu tím đậm} = \frac{24}{50} = 0.48 = 48\% \\ \text{Tần số tương đối của màu đỏ} = \frac{15}{50} = 0.3 = 30\% \\ \text{Tần số tương đối của màu đen} = \frac{6}{50} = 0.12 = 12\% \] Bảng tần số tương đối: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Màu mực} & \text{Tần số tương đối} \\ \hline \text{Xanh đen} & 10\% \\ \hline \text{Tím đậm} & 48\% \\ \hline \text{Đỏ} & 30\% \\ \hline \text{Đen} & 12\% \\ \hline \end{array} \] b. Vẽ biểu đồ thể hiện bảng tần số tương đối: Biểu đồ tròn thể hiện tần số tương đối của mỗi màu mực: - Màu xanh đen chiếm 10%. - Màu tím đậm chiếm 48%. - Màu đỏ chiếm 30%. - Màu đen chiếm 12%. Biểu đồ tròn sẽ được vẽ với các phần tương ứng với tỷ lệ phần trăm đã tính toán. Lưu ý: Để vẽ biểu đồ tròn, ta chia vòng tròn thành các phần theo tỷ lệ phần trăm của mỗi màu mực. Câu 7 Để tính xác suất của biến cố M, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số kết quả có thể xảy ra. - Hộp có 50 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số từ 1 đến 50. - Vậy tổng số kết quả có thể xảy ra là 50. Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố M. - Biến cố M là "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là một số nguyên tố". - Ta liệt kê các số nguyên tố từ 1 đến 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. - Số lượng các số nguyên tố này là 15. Bước 3: Tính xác suất của biến cố M. - Xác suất của biến cố M là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra. - Vậy xác suất của biến cố M là: \[ P(M) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} \] Đáp số: Xác suất của biến cố M là $\frac{3}{10}$.