Cho x,y,z 0 thay đổi thoả mãn xyz = 1. Chứng minh x^3/ (1 + y )(1 + z) + y^3/ (1 + x)(1 + z) + z^3/ (1 + x)( 1 + y) = 3/4

Question

Cho x,y,z > 0 thay đổi thoả mãn xyz = 1. Chứng minh x^3/ (1 + y )(1 + z) + y^3/ (1 + x)(1 + z) + z^3/ (1 + x)( 1 + y) >= 3/4

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}$ với điều kiện $xyz = 1$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các phân thức:
$$
\left( \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \right) \left( (1 + y)(1 + z) + (1 + x)(1 + z) + (1 + x)(1 + y) \right) \geq (x + y + z)^2
$$

Bước 2: Ta cần tính tổng $(1 + y)(1 + z) + (1 + x)(1 + z) + (1 + x)(1 + y)$:
$$
(1 + y)(1 + z) + (1 + x)(1 + z) + (1 + x)(1 + y) = 1 + y + z + yz + 1 + x + z + xz + 1 + x + y + xy 
= 3 + 2(x + y + z) + xy + yz + zx
$$

Bước 3: Do $xyz = 1$, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh $xy + yz + zx \geq 3$. Cụ thể:
$$
xy + yz + zx \geq 3 \sqrt[3]{(xyz)^2} = 3
$$
Do đó:
$$
3 + 2(x + y + z) + xy + yz + zx \geq 3 + 2(x + y + z) + 3 = 6 + 2(x + y + z)
$$

Bước 4: Kết hợp lại, ta có:
$$
\left( \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \right) (6 + 2(x + y + z)) \geq (x + y + z)^2
$$

Bước 5: Chia cả hai vế cho $(6 + 2(x + y + z))$:
$$
\frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{(x + y + z)^2}{6 + 2(x + y + z)}
$$

Bước 6: Ta cần chứng minh rằng $\frac{(x + y + z)^2}{6 + 2(x + y + z)} \geq \frac{3}{4}$. Điều này tương đương với:
$$
4(x + y + z)^2 \geq 3(6 + 2(x + y + z))
$$
$$
4(x + y + z)^2 \geq 18 + 6(x + y + z)
$$
$$
4(x + y + z)^2 - 6(x + y + z) - 18 \geq 0
$$

Bước 7: Đặt $t = x + y + z$, ta cần chứng minh:
$$
4t^2 - 6t - 18 \geq 0
$$
$$
2t^2 - 3t - 9 \geq 0
$$
$$
(t - 3)(2t + 3) \geq 0
$$

Vì $t = x + y + z \geq 3$ (theo bất đẳng thức AM-GM), ta có $t - 3 \geq 0$ và $2t + 3 > 0$. Do đó, $(t - 3)(2t + 3) \geq 0$ luôn đúng.

Kết luận: Ta đã chứng minh được $\frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}$.