Giúp mình với! 2) Cho nửa đường tròn (O) , đường kính $AB=2R.$ Đường thẳng d cố định vuông góc với bán kính,OB tại H. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm D thay đổi (D khác A; B và D không nằm trên đường,thẳng d ). Tia AD cắt đường thẳng d tại C . Tia BD cắt đường thẳng d tại M. Tiếp tuyến tại D của,nửa đường tròn cắt đường thẳng d ở K.,a) Chứng minh bốn điểm A,D,M,H cùng thuộc một đường tròn.,b) Đường thẳng AM cắt nửa đường tròn (O) tại E . Chứng minh B,E,C thẳng hàng và $KD=$,KE.,c) Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên nửa đường tròn (O) .

Question

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^\circ$ nên bốn điểm A, D, M, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có $\widehat{EAD}=\widehat{EBD}$ (cùng chắn cung ED) và $\widehat{EBD}=\widehat{ECB}$ (cùng phụ với $\widehat{CBM}$) nên $\widehat{EAD}=\widehat{ECB}$. Do đó B, E, C thẳng hàng.

Ta có $\widehat{KDE}=\widehat{DBE}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung) và $\widehat{DBE}=\widehat{DAE}$ (cùng chắn cung DE) nên $\widehat{KDE}=\widehat{DAE}$. Mặt khác, ta cũng có $\widehat{DAE}=\widehat{KED}$ (cùng phụ với $\widehat{AED}$) nên $\widehat{KDE}=\widehat{KED}$. Từ đó ta suy ra tam giác KDE cân tại K, suy ra KD = KE.

c) Ta có $\widehat{KDE}=\widehat{KED}$ (chứng minh ở phần b) nên DK = KE. Mặt khác, ta cũng có $\widehat{KDE}=\widehat{DBE}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung) và $\widehat{DBE}=\widehat{DAE}$ (cùng chắn cung DE) nên $\widehat{KDE}=\widehat{DAE}$. Từ đó ta suy ra tam giác KDE đồng dạng với tam giác DAE (góc - góc) nên $\frac{DK}{DA}=\frac{DE}{DA}$. Suy ra DE luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm của đoạn thẳng DA.