Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là hai số chính phương.

Question

tùng nguyễn · Accepted Answer

đặt n+18=a² ;n-41=b² (a,b∈N)

=>n=a²-18 và n=b²+41

=>a²-18=b²+41

=>(a-b)(a+b)=59 mà a,b ∈N và a>b do a²=b²+59

do đó a-b>0 nên ta có các trường hợp sao

TH1: a-b=1 và a+b=59

=>a-b+a+b=60

=>2a=60

=>a=30 ,thay vào n+18=a² ta được:

n+18=900=>n=882 (thỏa mãn)

TH2 a-b=59 và a+b=1

=>2a=60

=>a=30 thay vào như TH1 ta đc n=882=>b=29

mà a-b=59 và a=30=>b=-29 ,mâu thuẫn

vậy n=882

Timi · Answer

Để tìm số tự nhiên $ n $ sao cho $ n + 18 $ và $ n - 41 $ là hai số chính phương, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Gọi hai số chính phương:
   Giả sử $ n + 18 = a^2 $ và $ n - 41 = b^2 $, trong đó $ a $ và $ b $ là các số tự nhiên.

2. Tìm mối liên hệ giữa hai số chính phương:
   Ta có:
   $$
   n + 18 = a^2
   $$
   $$
   n - 41 = b^2
   $$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
   $$
   (n + 18) - (n - 41) = a^2 - b^2
   $$
   $$
   59 = a^2 - b^2
   $$

3. Phân tích $ a^2 - b^2 $:
   Ta biết rằng $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $. Do đó:
   $$
   59 = (a - b)(a + b)
   $$

4. Xác định các giá trị của $ a $ và $ b $:
   Vì 59 là số nguyên tố, nên các cặp số $ (a - b) $ và $ (a + b) $ có thể là:
   $$
   a - b = 1 \quad \text{và} \quad a + b = 59
   $$

Giải hệ phương trình này:
   $$
   a - b = 1
   $$
   $$
   a + b = 59
   $$

Cộng hai phương trình:
   $$
   2a = 60 \implies a = 30
   $$

Thay $ a = 30 $ vào $ a - b = 1 $:
   $$
   30 - b = 1 \implies b = 29
   $$

5. Tìm giá trị của $ n $:
   Ta có:
   $$
   n + 18 = a^2 = 30^2 = 900
   $$
   $$
   n = 900 - 18 = 882
   $$

Kiểm tra lại:
   $$
   n - 41 = 882 - 41 = 841 = 29^2
   $$

Vậy số tự nhiên $ n $ cần tìm là $ 882 $.

Đáp số: $ n = 882 $