Tìm n nguyên sao cho biểu thức $M=n^4+8n^3+23n^2+30n+18$ có giá trị là $1$ số chính phương

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

Ta có:

$M = n^4 + 8n^3 + 23n^2 + 30n + 18$

$= (n^2 + 4n + 3)^2 + (n + 3)^2$

Trường hợp 1: $n + 3 = 0 \Rightarrow n = -3$

Thay vào biểu thức:

$M = (-3^2 + 4 \cdot (-3) + 3)^2 + (-3 + 3)^2 = 0^2 = 0$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $n + 3 eq 0 \Rightarrow (n + 3)^2 > 0$

$\Rightarrow M > (n^2 + 4n + 3)^2$

Xét hiệu:

$(n^2 + 4n + 4)^2 - M = (n^4 + 8n^3 + 24n^2 + 32n + 16) - (n^4 + 8n^3 + 23n^2 + 30n + 18)$

$= n^2 + 2n - 2$

$= (n + 1)^2 - 3$

Để $(n^2 + 4n + 4)^2 - M > 0 \Rightarrow (n + 1)^2 > 3$

$\Rightarrow n + 1 \ge 2$ hoặc $n + 1 \le -2$

$\Rightarrow n \ge 1$ hoặc $n \le -3$

Với $n \ge 1$ hoặc $n \le -3$, ta có:

$(n^2 + 4n + 3)^2 < M < (n^2 + 4n + 4)^2$

Do đó $M$ không thể là số chính phương.

Xét các giá trị $-2 \le n \le 0$ với $n$ nguyên:

Với $n = -2$:

$M = (-2)^4 + 8(-2)^3 + 23(-2)^2 + 30(-2) + 18 = 2$ (loại)

Với $n = -1$:

$M = (-1)^4 + 8(-1)^3 + 23(-1)^2 + 30(-1) + 18 = 4 = 2^2$ (thỏa mãn)

Với $n = 0$:

$M = 18$ (loại)

Vậy $n \in \{-3; -1\}$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị của $ n $ nguyên sao cho biểu thức $ M = n^4 + 8n^3 + 23n^2 + 30n + 18 $ là một số chính phương, trước hết ta cần phân tích biểu thức này.

Chúng ta bắt đầu bằng cách thử một số giá trị nguyên cho $ n $ và kiểm tra xem giá trị của $ M $ có phải là số chính phương hay không.

1. **Khi $ n = -5 $**:
   $$
   M = (-5)^4 + 8(-5)^3 + 23(-5)^2 + 30(-5) + 18 
   $$
   $$
   = 625 - 1000 + 575 - 150 + 18 
   $$
   $$
   = 625 - 1000 + 575 - 150 + 18 = 68 
   $$
   $ 68 $ không phải là số chính phương.

2. **Khi $ n = -4 $**:
   $$
   M = (-4)^4 + 8(-4)^3 + 23(-4)^2 + 30(-4) + 18 
   $$
   $$
   = 256 - 512 + 368 - 120 + 18 
   $$
   $$
   = 256 - 512 + 368 - 120 + 18 = 10 
   $$
   $ 10 $ không phải là số chính phương.

3. **Khi $ n = -3 $**:
   $$
   M = (-3)^4 + 8(-3)^3 + 23(-3)^2 + 30(-3) + 18 
   $$
   $$
   = 81 - 216 + 207 - 90 + 18 
   $$
   $$
   = 81 - 216 + 207 - 90 + 18 = 0 
   $$
   $ 0 $ là số chính phương (bằng $ 0^2 $).

4. **Khi $ n = -2 $**:
   $$
   M = (-2)^4 + 8(-2)^3 + 23(-2)^2 + 30(-2) + 18 
   $$
   $$
   = 16 - 64 + 92 - 60 + 18 
   $$
   $$
   = 16 - 64 + 92 - 60 + 18 = 2 
   $$
   $ 2 $ không phải là số chính phương.

5. **Khi $ n = -1 $**:
   $$
   M = (-1)^4 + 8(-1)^3 + 23(-1)^2 + 30(-1) + 18 
   $$
   $$
   = 1 - 8 + 23 - 30 + 18 
   $$
   $$
   = 1 - 8 + 23 - 30 + 18 = 4 
   $$
   $ 4 $ là số chính phương (bằng $ 2^2 $).

6. **Khi $ n = 0 $**:
   $$
   M = 0^4 + 8 \cdot 0^3 + 23 \cdot 0^2 + 30 \cdot 0 + 18 
   $$
   $$
   = 18 
   $$
   $ 18 $ không phải là số chính phương.

7. **Khi $ n = 1 $**:
   $$
   M = 1^4 + 8 \cdot 1^3 + 23 \cdot 1^2 + 30 \cdot 1 + 18 
   $$
   $$
   = 1 + 8 + 23 + 30 + 18 
   $$
   $$
   = 80 
   $$
   $ 80 $ không phải là số chính phương.

8. **Khi $ n = 2 $**:
   $$
   M = 2^4 + 8 \cdot 2^3 + 23 \cdot 2^2 + 30 \cdot 2 + 18 
   $$
   $$
   = 16 + 64 + 92 + 60 + 18 
   $$
   $$
   = 250 
   $$
   $ 250 $ không phải là số chính phương.

9. **Khi $ n = 3 $**:
   $$
   M = 3^4 + 8 \cdot 3^3 + 23 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 18 
   $$
   $$
   = 81 + 216 + 207 + 90 + 18 
   $$
   $$
   = 612 
   $$
   $ 612 $ không phải là số chính phương.

10. **Khi $ n = 4 $**:
    $$
    M = 4^4 + 8 \cdot 4^3 + 23 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4 + 18 
    $$
    $$
    = 256 + 512 + 368 + 120 + 18 
    $$
    $$
    = 1274 
    $$
    $ 1274 $ không phải là số chính phương.

Từ những giá trị đã thử, ta có:
- $ n = -3 $ cho $ M = 0 $
- $ n = -1 $ cho $ M = 4 $

Vậy, các giá trị của $ n $ nguyên sao cho $ M $ là một số chính phương là:
$$
\boxed{-3 \text{ và } -1}
$$

Huycindy · Answer

$M = n^4 + 8n^3 + 23n^2 + 30n + 18$
$M = (n^4 + 3n^3) + (5n^3 + 15n^2) + (8n^2 + 24n) + (6n + 18)$
$M = n^3(n + 3) + 5n^2(n + 3) + 8n(n + 3) + 6(n + 3)$
$M = (n + 3)(n^3 + 5n^2 + 8n + 6)$
$M = (n + 3)[(n^3 + 3n^2) + (2n^2 + 6n) + (2n + 6)]$
$M = (n + 3)[n^2(n + 3) + 2n(n + 3) + 2(n + 3)]$
$M = (n + 3)^2(n^2 + 2n + 2)$
Trường hợp $1:$
$n + 3 = 0$
$n = -3$
Trường hợp $2:$ $n + 3 
eq 0$
Để $M$ là số chính phương thì $n^2 + 2n + 2$ phải là số chính phương
Đặt $n^2 + 2n + 2 = k^2$ ($k \in \mathbb{Z}$)
$(n + 1)^2 + 1 = k^2$
$k^2 - (n + 1)^2 = 1$
$(k - n - 1)(k + n + 1) = 1$
Do $k, n \in \mathbb{Z}$ nên ta có các trường hợp:
$\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} k - n - 1 = 1 \ k + n + 1 = 1 \end{cases} \ &\begin{cases} k - n - 1 = -1 \ k + n + 1 = -1 \end{cases} \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} 2k = 2 \ k + n + 1 = 1 \end{cases} \ &\begin{cases} 2k = -2 \ k + n + 1 = -1 \end{cases} \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} k = 1 \ n = -1 \end{cases} \ &\begin{cases} k = -1 \ n = -1 \end{cases} \end{aligned} ight.$
$n = -1$
Vậy $\left[ \begin{aligned} &n = -3 \ &n = -1 \end{aligned} ight.$