giải giúp với các pro Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC $(AB

Question

giải giúp với các pro Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC $(AB<AC),$ đường cao AH..Kẻ HD,,HE lần,lượt vuông góc với AB, AC $(D\in AB,~E\in AC).$,a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.,b) Trên tia đối của tia DH lấy điểm $F(F
e D).$ Đường thẳng qua F vuông góc với FB,cắt đường thẳng AH tại G. Kẻ GI vuông góc với $HF(I\in HF).$ Chứng minh tam giác IFG,đồng dạng với tam giác HBG và $IF=DH.$,c) Tia phân giác của góc HEC cắt CH tại K. Kẻ KM, KN lần lượt vuông góc với EH,,$EC~(M\in EH,~N\in EC).$ Hai đoạn thẳng CM và HN cắt nhau tại T . Gọi P là giao điểm,của HN và KM, Q là giao điểm của CM và KN . Chứng minh ET vuông góc với PQ.

Timi · Accepted Answer

Câu 4
a) Ta có $\widehat{AHD}=\widehat{AEH}=90^\circ$ nên tứ giác ADHE nội tiếp (cung AH).
b) Ta có $\widehat{FGI}=\widehat{FBG}=90^\circ$ nên tứ giác FGHB nội tiếp (cung FH).
Suy ra $\widehat{IFG}=\widehat{HBG}$ (cùng chắn cung HG).
Ta lại có $\widehat{FGI}=\widehat{BHG}=90^\circ$ nên tam giác IFG đồng dạng với tam giác HBG (g-g).
Suy ra $\frac{IF}{FG}=\frac{HB}{BG}$ (tỷ số đồng dạng).
Mặt khác ta có $\widehat{FDG}=\widehat{BDH}$ (đối đỉnh) và $\widehat{FGD}=\widehat{BHD}=90^\circ$ nên tam giác FDG đồng dạng với tam giác BDH (g-g).
Suy ra $\frac{FG}{GD}=\frac{DH}{BH}$ (tỷ số đồng dạng).
Từ đó ta có $\frac{IF}{GD}=\frac{HB}{BG}	imes \frac{FG}{DH}=\frac{HB}{DH}	imes \frac{FG}{BG}=\frac{HB}{DH}	imes \frac{DH}{HB}=1$
Suy ra $IF=GD=DH.$
c) Ta có $\widehat{KME}=\widehat{KNE}=90^\circ$ nên tứ giác KENM nội tiếp (cung KE).
Suy ra $\widehat{KMN}=\widehat{KEN}$ (cùng chắn cung KN).
Mặt khác ta có $\widehat{KNE}=\widehat{KME}=90^\circ$ nên tứ giác KENM nội tiếp (cung KE).
Suy ra $\widehat{KMN}=\widehat{KEN}$ (cùng chắn cung KN).
Mà $\widehat{KMN}=\widehat{KHT}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{KHT}=\widehat{KEN}.$
Suy ra tứ giác KENT nội tiếp (cung KT).
Suy ra $\widehat{ETP}=\widehat{ENK}$ (cùng chắn cung EK).
Mà $\widehat{ENK}=90^\circ$ nên $\widehat{ETP}=90^\circ.$
Suy ra $ET\perp PQ.$