Giúp mình với!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm thực. Bước 2: Áp dụng công thức Viète để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm và hệ số của phương trình. Bước 3: Sử dụng điều kiện $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\sqrt{2}$ để tìm giá trị của $a$. Bước 4: Tính $x_1^2 + x_2^2$ dựa trên các giá trị đã tìm được. Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm thực Phương trình $x^2 - (a+2)x + 2a = 0$ có hai nghiệm thực khi và chỉ khi: \[ \Delta = (a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2a \geq 0 \] \[ \Delta = a^2 + 4a + 4 - 8a \geq 0 \] \[ \Delta = a^2 - 4a + 4 \geq 0 \] \[ \Delta = (a-2)^2 \geq 0 \] Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của $a$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm thực. Bước 2: Áp dụng công thức Viète Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = a + 2 \] \[ x_1 x_2 = 2a \] Bước 3: Sử dụng điều kiện $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\sqrt{2}$ Ta bình phương cả hai vế: \[ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = (3\sqrt{2})^2 \] \[ x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 x_2} = 18 \] Thay $x_1 + x_2 = a + 2$ và $x_1 x_2 = 2a$ vào: \[ a + 2 + 2\sqrt{2a} = 18 \] \[ a + 2\sqrt{2a} = 16 \] \[ a + 2\sqrt{2a} - 16 = 0 \] Gọi $t = \sqrt{2a}$, ta có: \[ t^2 = 2a \] \[ a = \frac{t^2}{2} \] Thay vào phương trình: \[ \frac{t^2}{2} + 2t - 16 = 0 \] \[ t^2 + 4t - 32 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ t = \frac{-4 \pm 12}{2} \] Có hai nghiệm: \[ t = 4 \quad \text{hoặc} \quad t = -8 \] Vì $t = \sqrt{2a} \geq 0$, nên ta chỉ lấy $t = 4$. Do đó: \[ \sqrt{2a} = 4 \] \[ 2a = 16 \] \[ a = 8 \] Bước 4: Tính $x_1^2 + x_2^2$ Với $a = 8$, ta có: \[ x_1 + x_2 = 8 + 2 = 10 \] \[ x_1 x_2 = 2 \cdot 8 = 16 \] Ta sử dụng công thức: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 10^2 - 2 \cdot 16 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 100 - 32 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 68 \] Vậy $x_1^2 + x_2^2 = 68$.