tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức $a.~A=-4-x^2+6x$ $b.~F=(x-1)(x-3)+11$,$c.~G=(x-3)^2+(x-2)^2$ $d.~H=\frac{2000}{x^2+2x+6}$

Question

Timi · Accepted Answer

a. Ta có: $A = -4 - x^2 + 6x$
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương.
Ta có:
$$ A = -4 - (x^2 - 6x) $$
$$ A = -4 - (x^2 - 6x + 9 - 9) $$
$$ A = -4 - ((x - 3)^2 - 9) $$
$$ A = -4 - (x - 3)^2 + 9 $$
$$ A = 5 - (x - 3)^2 $$

Biểu thức $(x - 3)^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó GTLN của $A$ xảy ra khi $(x - 3)^2 = 0$, tức là khi $x = 3$. Khi đó:
$$ A = 5 - 0 = 5 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là 5, đạt được khi $x = 3$.

b. Ta có: $F = (x - 1)(x - 3) + 11$
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương.
Ta có:
$$ F = (x - 1)(x - 3) + 11 $$
$$ F = x^2 - 4x + 3 + 11 $$
$$ F = x^2 - 4x + 14 $$
$$ F = (x^2 - 4x + 4) + 10 $$
$$ F = (x - 2)^2 + 10 $$

Biểu thức $(x - 2)^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó GTLN của $F$ xảy ra khi $(x - 2)^2 = 0$, tức là khi $x = 2$. Khi đó:
$$ F = 0 + 10 = 10 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là 10, đạt được khi $x = 2$.

c. Ta có: $G = (x - 3)^2 + (x - 2)^2$
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương.
Ta có:
$$ G = (x - 3)^2 + (x - 2)^2 $$
$$ G = (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) $$
$$ G = 2x^2 - 10x + 13 $$
$$ G = 2(x^2 - 5x) + 13 $$
$$ G = 2(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 13 $$
$$ G = 2((x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) + 13 $$
$$ G = 2(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{2} + 13 $$
$$ G = 2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{2} $$

Biểu thức $2(x - \frac{5}{2})^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó GTLN của $G$ xảy ra khi $2(x - \frac{5}{2})^2 = 0$, tức là khi $x = \frac{5}{2}$. Khi đó:
$$ G = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

Vậy giá trị lớn nhất của $G$ là $\frac{1}{2}$, đạt được khi $x = \frac{5}{2}$.

d. Ta có: $H = \frac{2000}{x^2 + 2x + 6}$
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương.
Ta có:
$$ H = \frac{2000}{x^2 + 2x + 6} $$
$$ H = \frac{2000}{(x^2 + 2x + 1) + 5} $$
$$ H = \frac{2000}{(x + 1)^2 + 5} $$

Biểu thức $(x + 1)^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó GTLN của $H$ xảy ra khi $(x + 1)^2 = 0$, tức là khi $x = -1$. Khi đó:
$$ H = \frac{2000}{0 + 5} = \frac{2000}{5} = 400 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $H$ là 400, đạt được khi $x = -1$.