aoaooalapalal

Câu 1. Câu hỏi: Cho hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\). Câu trả lời: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn \([-2, 2]\). - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \( f(-2) = 0 \), \( f(-1) = 4 \), \( f(1) = 0 \), \( f(2) = 4 \). Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất: 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất: 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Câu 28. Để xác định hàm số nào không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( y = \frac{x^2 + 1}{x} \) Ta có: \[ y = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x} \] Tính đạo hàm: \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Do đó, hàm số này có cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). B. \( y = \frac{2x - 2}{x + 1} \) Ta có: \[ y = \frac{2(x - 1)}{x + 1} \] Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2)(x + 1) - (2(x - 1))(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{4}{(x + 1)^2} \] Đạo hàm \( y' \) luôn dương (\( y' > 0 \)) ngoại trừ điểm \( x = -1 \) (điểm bất định). Do đó, hàm số này không có cực trị. C. \( y = x^2 - 2x + 1 \) Ta có: \[ y = (x - 1)^2 \] Tính đạo hàm: \[ y' = 2(x - 1) \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 2(x - 1) = 0 \] \[ x = 1 \] Do đó, hàm số này có cực trị tại \( x = 1 \). D. \( y = -x^3 + x + 1 \) Tính đạo hàm: \[ y' = -3x^2 + 1 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 1 = 0 \] \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Do đó, hàm số này có cực trị tại \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Kết luận: Hàm số không có cực trị là \( B.~y = \frac{2x - 2}{x + 1} \). Câu 29. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng không. 3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 4. Kiểm tra các mệnh đề đã cho. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng không: \[ y' = 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, x = 1, x = -1 \] Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$: Chọn $x = -2$, ta có $y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -1)$. - Trên khoảng $(-1, 0)$: Chọn $x = -0.5$, ta có $y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1, 0)$. - Trên khoảng $(0, 1)$: Chọn $x = 0.5$, ta có $y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 1)$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$: Chọn $x = 2$, ta có $y' = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1, +\infty)$. Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề đã cho: 1) Hàm số có 3 điểm cực trị: Đúng, vì chúng ta đã tìm ra ba điểm cực trị là $x = -1$, $x = 0$, và $x = 1$. 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0);(1;+\infty)$: Đúng, vì chúng ta đã xác định rằng hàm số đồng biến trên các khoảng này. 3) Hàm số có 1 điểm cực trị: Sai, vì chúng ta đã tìm ra ba điểm cực trị. 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1);(0;1)$: Đúng, vì chúng ta đã xác định rằng hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Vậy có 3 mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên. Đáp án: D. 3. Câu 30. Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 2) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các điểm cực trị. - Khi \( x < 0 \), chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] Do đó, hàm số tăng trên khoảng \( (-\infty, 0) \). - Khi \( 0 < x < 2 \), chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \] Do đó, hàm số giảm trên khoảng \( (0, 2) \). - Khi \( x > 2 \), chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \] Do đó, hàm số tăng trên khoảng \( (2, +\infty) \). Từ các kết quả trên, ta thấy: - Tại \( x = 0 \), hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại \( x = 0 \). \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 2 = -2 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số là \(-2\), đạt được khi \( x = 0 \). Đáp án đúng là: A. -2. Câu 31. Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $y=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-3x+2019m$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x + 2019m\right)' \] \[ y' = x^3 - x^2 - 5x - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ x^3 - x^2 - 5x - 3 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị để tìm nghiệm của phương trình này: - Thử nghiệm \( x = 3 \): \[ 3^3 - 3^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 27 - 9 - 15 - 3 = 0 \] Vậy \( x = 3 \) là một nghiệm của phương trình. Bước 3: Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: - Ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = (x^3 - x^2 - 5x - 3)' \] \[ y'' = 3x^2 - 2x - 5 \] - Thay \( x = 3 \) vào đạo hàm bậc hai: \[ y''(3) = 3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 - 5 = 27 - 6 - 5 = 16 > 0 \] Vì \( y''(3) > 0 \), nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \( x = 3 \). Đáp án đúng là: \[ A.~x=3. \] Câu 32. Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 1) = -3x^2 + 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi $x < -1$: Chọn $x = -2$, ta có $y' = -3(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 < 0$ - Khi $-1 < x < 1$: Chọn $x = 0$, ta có $y' = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0$ - Khi $x > 1$: Chọn $x = 2$, ta có $y' = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 < 0$ Từ đó, ta thấy: - $y'$ chuyển từ âm sang dương tại $x = -1$, do đó $x = -1$ là điểm cực tiểu. - $y'$ chuyển từ dương sang âm tại $x = 1$, do đó $x = 1$ là điểm cực đại. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại: \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $Q(1; 3)$. Đáp án: D. $Q(1; 3)$. Câu 33. Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 1\right)' = x^2 + 2x - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Phương trình này là phương trình bậc hai, ta giải nó bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị Ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \(y'\) ở các khoảng giữa các nghiệm để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Khi \(x < -3\), chọn \(x = -4\): \[ y'(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \] Vậy \(y'\) dương khi \(x < -3\). - Khi \(-3 < x < 1\), chọn \(x = 0\): \[ y'(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 \] Vậy \(y'\) âm khi \(-3 < x < 1\). - Khi \(x > 1\), chọn \(x = 2\): \[ y'(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \] Vậy \(y'\) dương khi \(x > 1\). Từ kết quả trên, ta thấy: - \(y'\) chuyển từ dương sang âm tại \(x = -3\), do đó \(x = -3\) là điểm cực đại. - \(y'\) chuyển từ âm sang dương tại \(x = 1\), do đó \(x = 1\) là điểm cực tiểu. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\). Đáp án đúng là: \(B.~x = 1\). Câu 34. Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \] Bước 2: Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Từ đây, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm. - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 \] (Dấu âm) - Khi \( -1 < x < 0 \), chọn \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 \] (Dấu dương) - Khi \( 0 < x < 1 \), chọn \( x = 0.5 \): \[ y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 \] (Dấu âm) - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 \] (Dấu dương) Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị dựa trên dấu của đạo hàm: - Tại \( x = -1 \), đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \), đạo hàm thay đổi từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \), đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số \( y = x^4 - 2x^2 \) có 3 điểm cực trị. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 35. Để tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = -x^3 + x^2 + 5x - 5$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 + x^2 + 5x - 5) = -3x^2 + 2x + 5 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ -3x^2 + 2x + 5 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Phương trình $-3x^2 + 2x + 5 = 0$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = -3$, $b = 2$, $c = 5$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(5)}}{2(-3)} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{-6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 8}{-6} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 8}{-6} = \frac{6}{-6} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \] Bước 4: Xác định tính chất của các điểm cực trị Ta cần kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Tại $x = -1$: \[ y'' = \frac{d}{dx} (-3x^2 + 2x + 5) = -6x + 2 \] \[ y''(-1) = -6(-1) + 2 = 6 + 2 = 8 > 0 \] Do đó, $x = -1$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = \frac{5}{3}$: \[ y''\left(\frac{5}{3}\right) = -6\left(\frac{5}{3}\right) + 2 = -10 + 2 = -8 < 0 \] Do đó, $x = \frac{5}{3}$ là điểm cực đại. Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu Tại $x = -1$: \[ y(-1) = -(-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) - 5 = 1 + 1 - 5 - 5 = -8 \] Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(-1, -8)$. Đáp án: A. $(-1, -8)$ Câu 36. Để xác định hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( y = \frac{2x - 3}{x + 2} \) Đây là hàm phân thức. Ta tìm đạo hàm để kiểm tra cực trị: \[ y' = \frac{(2)(x + 2) - (2x - 3)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{7}{(x + 2)^2} \] Vì \( y' = \frac{7}{(x + 2)^2} > 0 \) với mọi \( x \neq -2 \), hàm số này luôn tăng và không có cực trị. B. \( y = x^4 \) Đây là hàm bậc 4. Ta tìm đạo hàm để kiểm tra cực trị: \[ y' = 4x^3 \] \[ y'' = 12x^2 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 4x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \] Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12(0)^2 = 0 \] Tuy nhiên, vì \( y'' = 12x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), hàm số này có điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). C. \( y = -x^3 + x \) Đây là hàm bậc 3. Ta tìm đạo hàm để kiểm tra cực trị: \[ y' = -3x^2 + 1 \] \[ y'' = -6x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại các điểm \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \): \[ y''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -6 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) < 0 \] \[ y''\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -6 \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) > 0 \] Vậy hàm số này có cực đại tại \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và cực tiểu tại \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). D. \( y = |x + 2| \) Đây là hàm trị tuyệt đối. Ta xét hai trường hợp: - Với \( x \geq -2 \), \( y = x + 2 \) - Với \( x < -2 \), \( y = -(x + 2) = -x - 2 \) Ta thấy rằng hàm số này có điểm uốn tại \( x = -2 \), nhưng không có cực trị. Như vậy, hàm số không có cực trị là: \[ \boxed{A.~y=\frac{2x-3}{x+2}} \]