idieieisissisiisisi

Câu 6. Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\2x-3y=m\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ thỏa mãn $x+y=-3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{-3}$, điều này luôn đúng nên hệ luôn có nghiệm duy nhất. Bước 2: Thay $y = -3 - x$ vào phương trình đầu tiên của hệ: \[ x + 2(-3 - x) = m + 3 \] \[ x - 6 - 2x = m + 3 \] \[ -x - 6 = m + 3 \] \[ -x = m + 9 \] \[ x = -m - 9 \] Bước 3: Thay $x = -m - 9$ vào phương trình $x + y = -3$: \[ (-m - 9) + y = -3 \] \[ y = m + 6 \] Bước 4: Thay $x = -m - 9$ và $y = m + 6$ vào phương trình thứ hai của hệ để kiểm tra: \[ 2(-m - 9) - 3(m + 6) = m \] \[ -2m - 18 - 3m - 18 = m \] \[ -5m - 36 = m \] \[ -6m = 36 \] \[ m = -6 \] Vậy giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ thỏa mãn $x + y = -3$ là $m = -6$. Câu 7. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = xy + x - 1 \) dựa trên hệ phương trình đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm \( x \) và \( y \) theo \( m \). Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2m + 9 \\ x + y = 5 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (3x + y) - (x + y) = (2m + 9) - 5 \] \[ 2x = 2m + 4 \] \[ x = m + 2 \] Thay \( x = m + 2 \) vào phương trình \( x + y = 5 \): \[ (m + 2) + y = 5 \] \[ y = 5 - (m + 2) \] \[ y = 3 - m \] Bước 2: Thay \( x \) và \( y \) vào biểu thức \( A \): \[ A = xy + x - 1 \] \[ A = (m + 2)(3 - m) + (m + 2) - 1 \] \[ A = (m + 2)(3 - m) + m + 2 - 1 \] \[ A = (m + 2)(3 - m) + m + 1 \] \[ A = 3m - m^2 + 6 - 2m + m + 1 \] \[ A = -m^2 + 2m + 7 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của \( A = -m^2 + 2m + 7 \). Biểu thức \( A = -m^2 + 2m + 7 \) là một parabol mở xuống, do đó giá trị lớn nhất của nó đạt tại đỉnh của parabol. Ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( m = -\frac{b}{2a} \): \[ a = -1, \quad b = 2 \] \[ m = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \] Thay \( m = 1 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = -(1)^2 + 2(1) + 7 \] \[ A = -1 + 2 + 7 \] \[ A = 8 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là 8, đạt được khi \( m = 1 \). Đáp số: \( m = 1 \) Câu 8. Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là \( v \) (km/h) và thời gian ban đầu là \( t \) (giờ). Khi vận tốc giảm 10 km/h, vận tốc mới là \( v - 10 \) (km/h) và thời gian mới là \( t + \frac{3}{4} \) (giờ). Khi vận tốc tăng 10 km/h, vận tốc mới là \( v + 10 \) (km/h) và thời gian mới là \( t - \frac{1}{2} \) (giờ). Quãng đường từ A đến B không đổi, do đó ta có: \[ v \cdot t = (v - 10) \left( t + \frac{3}{4} \right) \] \[ v \cdot t = (v + 10) \left( t - \frac{1}{2} \right) \] Ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên: \[ v \cdot t = (v - 10) \left( t + \frac{3}{4} \right) \] \[ v \cdot t = v \cdot t + \frac{3}{4}v - 10t - \frac{30}{4} \] \[ 0 = \frac{3}{4}v - 10t - \frac{30}{4} \] \[ 0 = 3v - 40t - 30 \quad \text{(nhân cả hai vế với 4)} \] \[ 3v - 40t = 30 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình thứ hai: \[ v \cdot t = (v + 10) \left( t - \frac{1}{2} \right) \] \[ v \cdot t = v \cdot t - \frac{1}{2}v + 10t - 5 \] \[ 0 = -\frac{1}{2}v + 10t - 5 \] \[ 0 = -v + 20t - 10 \quad \text{(nhân cả hai vế với 2)} \] \[ -v + 20t = 10 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3v - 40t = 30 \\ -v + 20t = 10 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ \begin{cases} 3v - 40t = 30 \\ -2v + 40t = 20 \end{cases} \] Cộng hai phương trình lại: \[ 3v - 40t - 2v + 40t = 30 + 20 \] \[ v = 50 \] Thay \( v = 50 \) vào phương trình \( -v + 20t = 10 \): \[ -50 + 20t = 10 \] \[ 20t = 60 \] \[ t = 3 \] Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Đáp số: 50 km/h. Câu 9. Gọi vận tốc người đi xe đạp từ A đến B là \( v_{AB} \) (km/h) và thời gian đi từ A đến B là \( t_{AB} \) (giờ). Gọi vận tốc người đi xe đạp từ B về A là \( v_{BA} \) (km/h) và thời gian đi từ B về A là \( t_{BA} \) (giờ). Biết rằng: - Vận tốc lúc lên dốc là 10 km/h. - Vận tốc lúc xuống dốc là 15 km/h. - Thời gian đi từ A đến B là 16 phút = \(\frac{16}{60}\) giờ = \(\frac{4}{15}\) giờ. - Thời gian đi từ B về A là 14 phút = \(\frac{14}{60}\) giờ = \(\frac{7}{30}\) giờ. Ta có: \[ v_{AB} = 10 \text{ km/h} \] \[ v_{BA} = 15 \text{ km/h} \] Quãng đường AB là: \[ d_{AB} = v_{AB} \times t_{AB} = 10 \times \frac{4}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \text{ km} \] Quãng đường BA là: \[ d_{BA} = v_{BA} \times t_{BA} = 15 \times \frac{7}{30} = \frac{105}{30} = \frac{7}{2} \text{ km} \] Tổng quãng đường AB và BA là: \[ d_{AB} + d_{BA} = \frac{8}{3} + \frac{7}{2} = \frac{16}{6} + \frac{21}{6} = \frac{37}{6} \text{ km} \] Vậy độ dài quãng đường AB là: \[ \frac{37}{6} \text{ km} \] Đáp số: \(\frac{37}{6} \text{ km}\) Câu 10. Gọi vận tốc người đi nhanh là $v_{n}$ với thời gian đi là $t_{n}$ giờ Gọi vận tốc người đi chậm là $v_{c}$ với thời gian đi là $t_{c}$ giờ Theo đề bài ta có: $t_{c} = t_{n} + 0,1$ (giờ) Sau khi xuất phát cùng lúc, người đi chậm đi được 2 km thì người đi nhanh đi được: 3,6 - 2 = 1,6 (km) Thời gian để người đi chậm đi được 2 km là: $\frac{2}{v_{c}}$ (giờ) Thời gian để người đi nhanh đi được 1,6 km là: $\frac{1,6}{v_{n}}$ (giờ) Vì hai người gặp nhau ở giữa quãng đường nên thời gian đi của người đi chậm hơn thời gian đi của người đi nhanh là 0,1 giờ. Do đó ta có phương trình: $\frac{2}{v_{c}} - \frac{1,6}{v_{n}} = 0,1$ Biến đổi phương trình trên ta được: $\frac{20}{v_{c}} - \frac{16}{v_{n}} = 1$ (1) Nếu người đi chậm xuất phát trước người đi nhanh 6 phút thì họ gặp nhau ở giữa quãng đường, tức là mỗi người đi được 1,8 km. Thời gian để người đi chậm đi được 1,8 km là: $\frac{1,8}{v_{c}}$ (giờ) Thời gian để người đi nhanh đi được 1,8 km là: $\frac{1,8}{v_{n}}$ (giờ) Vì người đi chậm xuất phát trước 6 phút nên ta có phương trình: $\frac{1,8}{v_{c}} - \frac{1,8}{v_{n}} = 0,1$ (2) Biến đổi phương trình (2) ta được: $\frac{18}{v_{c}} - \frac{18}{v_{n}} = 1$ (3) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (3) ta được: $\frac{20}{v_{c}} - \frac{16}{v_{n}} - (\frac{18}{v_{c}} - \frac{18}{v_{n}}) = 0$ $\frac{2}{v_{c}} + \frac{2}{v_{n}} = 0$ $\frac{1}{v_{c}} + \frac{1}{v_{n}} = 0$ Do đó ta có: $\frac{1}{v_{c}} = -\frac{1}{v_{n}}$ Điều này là vô lý, do đó ta phải có: $v_{c} = v_{n}$ Thay vào phương trình (1) ta được: $\frac{20}{v_{c}} - \frac{16}{v_{c}} = 1$ $\frac{4}{v_{c}} = 1$ $v_{c} = 4$ (km/giờ) Đáp số: 4 km/giờ Câu 11. Gọi vận tốc của ô tô con là \( x \) km/h và vận tốc của ô tô tải là \( y \) km/h (điều kiện: \( x > 0 \), \( y > 0 \)). Sau khi đi được 2 giờ, hai xe gặp nhau, tức là tổng quãng đường hai xe đã đi được là 150 km: \[ 2(x + y) = 150 \] \[ x + y = 75 \] Biết rằng nếu vận tốc của ô tô con tăng thêm 5 km/h và vận tốc của ô tô tải giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô con gấp đôi vận tốc của ô tô tải: \[ x + 5 = 2(y - 5) \] \[ x + 5 = 2y - 10 \] \[ x = 2y - 15 \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 75 \\ x = 2y - 15 \end{cases} \] Thay \( x = 2y - 15 \) vào phương trình \( x + y = 75 \): \[ 2y - 15 + y = 75 \] \[ 3y - 15 = 75 \] \[ 3y = 90 \] \[ y = 30 \] Thay \( y = 30 \) vào phương trình \( x = 2y - 15 \): \[ x = 2(30) - 15 \] \[ x = 60 - 15 \] \[ x = 45 \] Vậy vận tốc của ô tô con là 45 km/h. Câu 12. Gọi vận tốc của người đi xe máy là \( v_1 \) (km/h) và vận tốc của người đi ô tô là \( v_2 \) (km/h). Người đi xe máy đã đi được 2 giờ trước khi người đi ô tô xuất phát. Sau đó, người đi ô tô xuất phát và gặp người đi xe máy sau 1 giờ. Trong 1 giờ, người đi xe máy đi được \( v_1 \times 1 = v_1 \) km. Trong 1 giờ, người đi ô tô đi được \( v_2 \times 1 = v_2 \) km. Tổng quãng đường hai người đi được trong 1 giờ là: \[ v_1 + v_2 \] Trước khi gặp nhau, người đi xe máy đã đi được: \[ 2 \times v_1 + v_1 = 3v_1 \] Quãng đường còn lại cho người đi ô tô là: \[ 200 - 3v_1 \] Vì người đi ô tô gặp người đi xe máy sau 1 giờ, nên: \[ v_2 = 200 - 3v_1 \] Theo đề bài, nếu cả hai người cùng giảm vận tốc đi 5 km/h thì vận tốc của người đi ô tô gấp rưỡi vận tốc của người đi xe máy: \[ v_2 - 5 = \frac{3}{2} (v_1 - 5) \] Thay \( v_2 = 200 - 3v_1 \) vào phương trình trên: \[ 200 - 3v_1 - 5 = \frac{3}{2} (v_1 - 5) \] \[ 195 - 3v_1 = \frac{3}{2} (v_1 - 5) \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 2(195 - 3v_1) = 3(v_1 - 5) \] \[ 390 - 6v_1 = 3v_1 - 15 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( v_1 \) sang một vế: \[ 390 + 15 = 3v_1 + 6v_1 \] \[ 405 = 9v_1 \] Giải phương trình: \[ v_1 = \frac{405}{9} \] \[ v_1 = 45 \] Vậy vận tốc của người đi xe máy là 45 km/h. Câu 13. Gọi vận tốc của xe máy là \( v_{\text{xe máy}} \) (km/h) và vận tốc của ô tô là \( v_{\text{ô tô}} \) (km/h). Bước 1: Xác định thời gian để xe máy và ô tô gặp nhau lần đầu tiên. - Xe máy đi từ A đến C với quãng đường 80 km. - Ô tô đi từ B đến C với quãng đường \( 180 - 80 = 100 \) km. - Thời gian để xe máy và ô tô gặp nhau lần đầu tiên là \( t_1 \) (giờ). Ta có: \[ t_1 = \frac{80}{v_{\text{xe máy}}} = \frac{100}{v_{\text{ô tô}}} \] Bước 2: Xác định thời gian để xe máy và ô tô gặp nhau lần thứ hai. - Xe máy đi từ A đến D với quãng đường 60 km. - Ô tô đi từ B đến D với quãng đường \( 180 - 60 = 120 \) km. - Thời gian để xe máy và ô tô gặp nhau lần thứ hai là \( t_2 \) (giờ). Ta có: \[ t_2 = \frac{60}{v_{\text{xe máy}}} = \frac{120}{v_{\text{ô tô}}} \] Bước 3: Xác định thời gian xe máy khởi hành sau 54 phút. - Thời gian xe máy khởi hành sau 54 phút là \( \frac{54}{60} = 0.9 \) giờ. Bước 4: Xác định mối liên hệ giữa thời gian \( t_1 \) và \( t_2 \). - Thời gian \( t_2 \) sẽ bằng thời gian \( t_1 \) cộng thêm 0.9 giờ: \[ t_2 = t_1 + 0.9 \] Bước 5: Thay các giá trị vào phương trình. \[ \frac{60}{v_{\text{xe máy}}} = \frac{80}{v_{\text{xe máy}}} + 0.9 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm \( v_{\text{xe máy}} \). \[ \frac{60}{v_{\text{xe máy}}} = \frac{80}{v_{\text{xe máy}}} + 0.9 \] \[ \frac{60}{v_{\text{xe máy}}} - \frac{80}{v_{\text{xe máy}}} = 0.9 \] \[ \frac{-20}{v_{\text{xe máy}}} = 0.9 \] \[ v_{\text{xe máy}} = \frac{20}{0.9} \] \[ v_{\text{xe máy}} = \frac{200}{9} \approx 22.22 \text{ km/h} \] Bước 7: Tìm vận tốc của ô tô. \[ t_1 = \frac{80}{v_{\text{xe máy}}} = \frac{80}{\frac{200}{9}} = \frac{80 \times 9}{200} = 3.6 \text{ giờ} \] \[ v_{\text{ô tô}} = \frac{100}{t_1} = \frac{100}{3.6} \approx 27.78 \text{ km/h} \] Đáp số: Vận tốc của ô tô là 27.78 km/h.