Giúp em với ah

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ là: Ta biết rằng đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. Do đó, nguyên hàm của $\cos x$ sẽ là $\sin x$ cộng thêm hằng số $C$. Vậy nguyên hàm của $f(x) = \cos x$ là: \[ F(x) = \sin x + C \] Đáp án đúng là: B. $\sin x + C.$ Câu 2: Để tìm số hạng $u_5$ của cấp số cộng $u_n$, ta cần biết công sai $d$ và số hạng đầu tiên $u_1$. Bước 1: Tìm công sai $d$: - Ta biết rằng $u_2 = u_1 + d$ và $u_3 = u_1 + 2d$. - Từ $u_2 = 2$ và $u_3 = 5$, ta có: \[ u_3 - u_2 = (u_1 + 2d) - (u_1 + d) = d \] \[ 5 - 2 = d \] \[ d = 3 \] Bước 2: Tìm số hạng đầu tiên $u_1$: - Ta có $u_2 = u_1 + d$: \[ 2 = u_1 + 3 \] \[ u_1 = 2 - 3 \] \[ u_1 = -1 \] Bước 3: Tìm số hạng $u_5$: - Công thức tổng quát của số hạng thứ $n$ trong cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$. - Áp dụng vào $u_5$: \[ u_5 = u_1 + 4d \] \[ u_5 = -1 + 4 \times 3 \] \[ u_5 = -1 + 12 \] \[ u_5 = 11 \] Vậy số hạng $u_5$ của cấp số cộng là 11. Đáp án đúng là A. 11. Câu 3: Để tính \( J = \int_{0}^{2} [4f(x) - 3] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách biểu thức trong dấu tích phân ra thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ J = \int_{0}^{2} [4f(x) - 3] \, dx \] Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân, ta có: \[ J = \int_{0}^{2} 4f(x) \, dx - \int_{0}^{2} 3 \, dx \] Tính từng phần riêng biệt: 1. Tính \(\int_{0}^{2} 4f(x) \, dx\): \[ \int_{0}^{2} 4f(x) \, dx = 4 \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Biết rằng \( I = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 3 \), nên: \[ 4 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4 \times 3 = 12 \] 2. Tính \(\int_{0}^{2} 3 \, dx\): \[ \int_{0}^{2} 3 \, dx = 3 \int_{0}^{2} 1 \, dx = 3 \left[ x \right]_{0}^{2} = 3 (2 - 0) = 6 \] Gộp lại ta có: \[ J = 12 - 6 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: C. 6 Câu 4: Để tính thể tích của khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Đáy ABC là tam giác đều cạnh a. - Diện tích tam giác đều cạnh a được tính theo công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 2. Xác định chiều cao SA: - Chiều cao SA đã cho là \( SA = a\sqrt{3} \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) \times a\sqrt{3} \] - Thực hiện phép nhân: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} a^3 = \frac{a^3}{4} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là \(\frac{a^3}{4}\). Đáp án đúng là: \( B.~\frac{a^3}{4} \). Câu 5: Để giải phương trình $4^{x-1} = 8^{3-2x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại các cơ số dưới dạng cùng cơ số: - Ta biết rằng $4 = 2^2$ và $8 = 2^3$. Do đó: \[ 4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} \] \[ 8^{3-2x} = (2^3)^{3-2x} = 2^{3(3-2x)} \] 2. Phương trình đã cho trở thành: \[ 2^{2(x-1)} = 2^{3(3-2x)} \] 3. So sánh các mũ của cơ số 2: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ 2(x-1) = 3(3-2x) \] 4. Giải phương trình này: \[ 2x - 2 = 9 - 6x \] \[ 2x + 6x = 9 + 2 \] \[ 8x = 11 \] \[ x = \frac{11}{8} \] 5. Kiểm tra điều kiện xác định: Phương trình ban đầu không giới hạn thêm bất kỳ điều kiện nào khác ngoài việc \( x \) phải là số thực. Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{11}{8} \). Đáp án đúng là: \( A.~x = \frac{11}{8} \). Câu 6: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần xem xét bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty; -1)$, hàm số nghịch biến. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt cực tiểu. - Trên khoảng $(-1; 0)$, hàm số đồng biến. - Tại điểm $x = 0$, hàm số đạt cực đại. - Trên khoảng $(0; 1)$, hàm số nghịch biến. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt cực tiểu. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, hàm số đồng biến. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$. Trong các đáp án được đưa ra: $A.~(0;1).$ $B.~(1;+\infty).$ $C.~(-1;0).$ $D.~(-\infty;1).$ Ta thấy rằng đáp án đúng là: $B.~(1;+\infty).$ Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Câu 7: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính điểm trung tâm của mỗi khoảng: \[ x_1 = \frac{19 + 19.5}{2} = 19.25, \quad x_2 = \frac{19.5 + 20}{2} = 19.75, \quad x_3 = \frac{20 + 20.5}{2} = 20.25, \quad x_4 = \frac{20.5 + 21}{2} = 20.75, \quad x_5 = \frac{21 + 21.5}{2} = 21.25 \] - Tính tổng số lần quan sát: \[ N = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{13 \times 19.25 + 45 \times 19.75 + 24 \times 20.25 + 12 \times 20.75 + 6 \times 21.25}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{250.25 + 888.75 + 486 + 249 + 127.5}{100} = \frac{2001.5}{100} = 20.015 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ \sigma^2 = \frac{13 \times (19.25 - 20.015)^2 + 45 \times (19.75 - 20.015)^2 + 24 \times (20.25 - 20.015)^2 + 12 \times (20.75 - 20.015)^2 + 6 \times (21.25 - 20.015)^2}{100} \] \[ \sigma^2 = \frac{13 \times (-0.765)^2 + 45 \times (-0.265)^2 + 24 \times (0.235)^2 + 12 \times (0.735)^2 + 6 \times (1.235)^2}{100} \] \[ \sigma^2 = \frac{13 \times 0.585225 + 45 \times 0.070225 + 24 \times 0.055225 + 12 \times 0.540225 + 6 \times 1.525225}{100} \] \[ \sigma^2 = \frac{7.607925 + 3.159125 + 1.3254 + 6.4827 + 9.15135}{100} = \frac{27.7265}{100} = 0.277265 \] 3. Làm tròn kết quả: - Làm tròn phương sai đến hàng phần trăm: \[ \sigma^2 \approx 0.28 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(\boxed{0.28}\). Câu 8: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. Ta có: \[ \lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{ax + b}{cx + d} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{c + \frac{d}{x}} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{b}{x}$ và $\frac{d}{x}$ sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{x \to \pm \infty} y = \frac{a + 0}{c + 0} = \frac{a}{c} \] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = \frac{a}{c}$. Theo đồ thị, ta thấy khi $x$ tiến đến vô cùng, giá trị của $y$ tiến đến -1. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = -1$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y = -1. \] Câu 9: Để giải bất phương trình $\log_2(3x+1) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(3x+1) < 2$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương: \[ 3x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{3} \] 2. Giải bất phương trình logarit: - Ta có $\log_2(3x+1) < 2$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_2(3x+1) < \log_2(4) \] - Vì hàm logarit cơ sở 2 là hàm tăng, nên ta có: \[ 3x + 1 < 4 \] - Giải bất phương trình này: \[ 3x < 3 \implies x < 1 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > -\frac{1}{3}$ và kết quả từ bước 2 $x < 1$, ta có: \[ -\frac{1}{3} < x < 1 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (-\frac{1}{3}, 1) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(-\frac{1}{3};1) \] Câu 10: Trước tiên, ta xét các phát biểu đã cho và kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là đúng. Phát biểu A: $\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC^\prime}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. - $\overrightarrow{AC^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C'. Theo quy tắc tam giác trong hình học, ta có: $\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ Nhưng $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$, vì $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A' đến đỉnh C', còn $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Do đó, phát biểu A là sai. Phát biểu B: $\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB^\prime}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B'. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Theo quy tắc tam giác trong hình học, ta có: $\overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ Nhưng $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$, vì $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A' đến đỉnh B', còn $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Do đó, phát biểu B là sai. Phát biểu C: $\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD^\prime}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AD^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh D'. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Theo quy tắc tam giác trong hình học, ta có: $\overrightarrow{AD^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ Nhưng $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$, vì $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A' đến đỉnh D', còn $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Do đó, phát biểu C là sai. Phát biểu D: $\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A' đến đỉnh C'. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Theo quy tắc tam giác trong hình học, ta có: $\overrightarrow{A^\prime C^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AC}$ Do đó, phát biểu D là đúng. Vậy phát biểu đúng là: $D.~\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime}$ Câu 11: Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1; -2; 5) \) lên trục \( Ox \) là điểm có tọa độ \( (x, 0, 0) \). - Tọa độ \( x \) giữ nguyên là 1. - Tọa độ \( y \) và \( z \) đều bằng 0 vì hình chiếu vuông góc lên trục \( Ox \) chỉ giữ lại tọa độ \( x \) và các tọa độ còn lại đều bằng 0. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1; -2; 5) \) lên trục \( Ox \) là điểm \( (1; 0; 0) \). Đáp án đúng là: \( D.~(1; 0; 0) \).