Cho tam giác ABC nhọn (AB

Question

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác HDCE là tứ giác nội tiếp:

b) Chứng minh răng AH AD = AE AC;

c) Gọi K là trung điểm của AH. Đường thẳng vuông góc với BK tại K cắt AC tại N. Chứng mình răng KNB = ECB;

d) Kẻ đường kính BM của đường tròn (O). Chứng minh rằng NM = NC

Timi · Accepted Answer

a) Ta có: $\widehat{DHE} = \widehat{DCB} = 90^\circ - \widehat{CBA}$

$\widehat{DCE} = \widehat{DBE} = 90^\circ - \widehat{CBA}$

Từ đó ta có: $\widehat{DHE} = \widehat{DCE}$

Suy ra tứ giác HDCE nội tiếp.

b) Ta có: $\widehat{HAD} = \widehat{CAE}$ (cùng bù với $\widehat{CAD}$)

$\widehat{ADH} = \widehat{AEC}$ (cùng bằng $90^\circ$)

Suy ra $	riangle AHD \sim 	riangle AEC$ (g-g)

Suy ra $\frac{AH}{AE} = \frac{AD}{AC}$

Suy ra $AH \cdot AC = AE \cdot AD$

c) Ta có: $\widehat{KBN} = \widehat{KAN}$ (cùng bù với $\widehat{KBA}$)

$\widehat{KNB} = \widehat{KNA}$ (đối đỉnh)

Suy ra $	riangle KBN \sim 	riangle KAN$ (g-g)

Suy ra $\frac{KB}{KA} = \frac{KN}{KN}$

Mà $KA = KH$ (K là trung điểm của AH)

Suy ra $\frac{KB}{KH} = \frac{KN}{KN}$

Suy ra $	riangle KBH \sim 	riangle KNH$ (c-a-c)

Suy ra $\widehat{KNH} = \widehat{KBH}$

Mà $\widehat{KNH} = \widehat{CNH}$ (đối đỉnh)

$\widehat{KBH} = \widehat{EBH}$ (cùng bằng $\widehat{KBE}$)

Suy ra $\widehat{CNH} = \widehat{EBH}$

Mà $\widehat{CNH} = \widehat{ECB}$ (tứ giác HDCE nội tiếp)

Suy ra $\widehat{ECB} = \widehat{EBH}$

d) Ta có: $\widehat{CBM} = \widehat{CAM}$ (cùng chắn cung CM)

Mà $\widehat{CAM} = \widehat{CAN}$ (cùng bằng $\widehat{KAN}$)

Suy ra $\widehat{CBM} = \widehat{CAN}$

Ta có: $\widehat{CBM} = \widehat{CNM}$ (cùng bằng $\widehat{CAN}$)

$\widehat{BCM} = \widehat{CNM}$ (chung)

Suy ra $	riangle CBM \sim 	riangle CNM$ (g-g)

Suy ra $\frac{CM}{CN} = \frac{BM}{NM}$

Mà $BM = CM$ (BM là đường kính)

Suy ra $\frac{BM}{CN} = \frac{BM}{NM}$

Suy ra $CN = NM$

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H a) Chứng minh tứ giác HDCE là tứ giác nội tiếp: b) Chứng minh răng AH AD = AE AC; c...