Giúp mình với!

Cho bài toán: - Vòng dây bán kính \( R = 5\,cm = 0.05\,m \) tích điện \( Q \) phân bố đều. - Quả cầu nhỏ khối lượng \( m = 1\,g = 1 \times 10^{-3}\,kg \), tích điện \( q = Q \), treo bằng dây dài \( l = 7.2\,cm = 0.072\,m \), dây được treo vào điểm cao nhất của vòng dây. - Quả cầu nằm cân bằng trên trục của vòng dây (trục đi qua tâm và vuông góc mặt phẳng vòng dây). - Yêu cầu tìm độ lớn điện tích \( Q \). --- **Phân tích:** 1. **Hình dạng và vị trí:** - Vòng dây nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. - Dây treo dài \( l \) từ điểm cao nhất của vòng. - Quả cầu cân bằng trên trục vòng dây, tức là nó ở một điểm trên trục \( x \) (trục vuông góc mặt phẳng vòng dây). 2. **Tọa độ:** - Chọn gốc tọa độ tại tâm vòng dây. - Điểm treo dây là điểm cao nhất vòng dây: tọa độ \( y = R = 0.05\,m \). - Dây dài \( l = 0.072\,m \), quả cầu treo ở một điểm trên trục dọc, gọi là \( x \). - Quả cầu nằm trên trục dọc của vòng, cách điểm treo một đoạn \( l \). Nếu trục dọc là trục \( x \), trục ngang là trục \( y \), thì vị trí quả cầu có tọa độ: - Tại điểm treo: \( y = R = 0.05\,m \). - Dây dài \( l \), hướng từ điểm treo xuống quả cầu, vị trí quả cầu là: \( y = R - l = 0.05 - 0.072 = -0.022\,m \). Nhưng bài nói quả cầu nằm trên trục của vòng dây (tức trục thẳng đứng đi qua tâm vòng), không trên trục ngang. Do đó, trục dọc ở đây chính là trục thẳng đứng, trục y. Vậy tọa độ quả cầu trên trục y là \( y = R - l = 0.05 - 0.072 = -0.022\,m \), tức cách tâm vòng dây \( 2.2\,cm \) xuống dưới. 3. **Lực tác dụng lên quả cầu:** - Trọng lực: \( \vec{P} = m g \), hướng xuống dưới. - Lực căng dây: hướng từ quả cầu lên điểm treo. - Lực điện: do điện tích \( Q \) phân bố đều trên vòng dây lên quả cầu tích điện \( q=Q \). 4. **Lực điện do vòng dây lên điện tích trên trục:** Cường độ điện trường trên trục của vòng dây tích điện \( Q \) tại điểm cách tâm \( x \) (trục vuông góc mặt phẳng vòng) là: \[ E = k \frac{Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] với \( k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\, Nm^2/C^2 \). Điện tích quả cầu cũng là \( q=Q \), lực điện: \[ F_e = q E = Q \cdot k \frac{Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = k \frac{Q^2 x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] Lực này hướng ra xa hoặc vào tâm tùy dấu điện tích, ta giả sử cùng dấu nên lực đẩy, hướng dọc trục vòng. 5. **Cân bằng lực:** - Dây treo dài \( l \), quả cầu ở vị trí \( y = R - l = -0.022\,m \) cách điểm treo. - Lực căng dây có phương từ quả cầu lên điểm treo. - Thành phần lực căng dây cân bằng trọng lực và lực điện. Gọi góc dây treo so với trục thẳng đứng là \( \theta \), ta có: \[ \cos \theta = \frac{\text{chiều dọc}}{\text{dây treo}} = \frac{R - y}{l} = \frac{0.05 - (-0.022)}{0.072} = \frac{0.072}{0.072} = 1 \] Như vậy, dây thẳng đứng (tức \(\theta=0^\circ\)). Điều này nghĩa quả cầu nằm trên trục thẳng đứng qua điểm treo, đúng như bài nói. Lực điện và trọng lực đều theo phương thẳng đứng, lực căng dây theo phương thẳng đứng, ta có phương trình cân bằng lực dọc trục: \[ T = mg + F_e \] Nếu lực điện hướng lên (đẩy quả cầu lên), thì: \[ T = mg - F_e \] Xét phương thẳng đứng, vì quả cầu đứng yên nên tổng lực phải bằng 0: \[ T \cos \theta = mg \] \[ T \sin \theta = F_e \] Với \(\theta=0\), thì \(\sin \theta=0\), vậy lực điện bằng 0? Mâu thuẫn. Phân tích lại: quả cầu nằm trên trục của vòng dây, cách điểm treo một đoạn dây dài \( l \), thì dây treo phải nghiêng một góc để quả cầu cân bằng chịu lực điện. Tính khoảng cách từ điểm treo đến quả cầu: - Điểm treo tại \( y = R = 0.05\,m \) - Quả cầu tại \( y = x \) (trục thẳng đứng qua tâm vòng, lấy trục y) - Dây dài \( l = 0.072\,m \) Khoảng cách thẳng đứng giữa điểm treo và quả cầu là \( 0.05 - x \), và dây dài \( l = 0.072\,m \), vậy dây nghiêng một góc \(\theta\): \[ \cos \theta = \frac{0.05 - x}{0.072} \] Quả cầu nằm trên trục vòng, nên chiều ngang là 0, không lệch theo phương ngang. Điều đó có nghĩa dây nghiêng về phía trục theo chiều thẳng đứng. Vậy \( x \) là tọa độ trên trục thẳng đứng qua tâm vòng, cách tâm vòng một đoạn \( x \) (âm nếu dưới tâm). Quả cầu ở vị trí \( x = -0.022\,m \) (bằng \( 0.05 - 0.072 = -0.022 \)). --- 6. **Viết các lực theo các phương:** - Phương dọc dây (phương căng dây): lực căng \( T \). - Lực trọng trường: \( mg \), hướng xuống. - Lực điện: \( F_e \), hướng dọc trục vòng. Thành phần lực điện dọc dây và ngang dây: - Thành phần dọc dây: \( F_e \cos \theta \). - Thành phần ngang dây: \( F_e \sin \theta \). Tương tự thành phần trọng lực theo dây: - Dọc dây: \( mg \cos \theta \). - Ngang dây: \( mg \sin \theta \). Do dây giữ quả cầu cân bằng: - Phương ngang dây: thành phần lực tổng bằng 0 \[ T \sin \theta = F_e \sin \theta \] - Phương dọc dây: lực căng cân bằng \[ T \cos \theta = mg + F_e \cos \theta \] Do vậy, ta có hệ: \[ T \sin \theta = F_e \sin \theta \Rightarrow T = F_e \] \[ T \cos \theta = mg + F_e \cos \theta \] Thay \( T = F_e \) vào: \[ F_e \cos \theta = mg + F_e \cos \theta \Rightarrow mg=0 \] Mâu thuẫn. Điều này chứng tỏ ta cần phân tích lại. --- **Cách đơn giản hơn:** Quả cầu treo cân bằng do 3 lực: trọng lực \( mg \) hướng xuống, lực căng dây \( T \) hướng theo dây (góc \(\theta\)), lực điện \( F_e \) hướng dọc trục vòng, theo phương thẳng đứng. Lực điện hướng ra xa tâm vòng trên trục. Dây treo từ điểm trên vòng (cao nhất) đến quả cầu. Gọi góc dây với phương thẳng đứng là \(\theta\). **Vì quả cầu nằm trên trục của vòng dây**, nên chiều ngang của quả cầu so với điểm treo là: \[ \Delta y = R - l \cos \theta \] Chiều ngang: \[ \Delta x = l \sin \theta \] Vì quả cầu nằm trên trục thẳng đứng, tức \(\Delta x = 0\), nên \(\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = 0^\circ\), dây thẳng đứng. Như vậy, dây thẳng đứng, quả cầu cách điểm treo \( l = 0.072\,m \) xuống dưới, vị trí quả cầu: \[ y = R - l = 0.05 - 0.072 = -0.022\,m \] Khoảng cách từ tâm vòng đến quả cầu trên trục là \( x = 0.022\,m \) (đổi dấu lấy dương vì tính khoảng cách). --- 7. **Tính lực điện:** Điện trường trên trục vòng dây: \[ E = k \frac{Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] Lực điện lên điện tích \( q=Q \): \[ F_e = q E = Q \times k \frac{Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = k \frac{Q^2 x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] --- 8. **Cân bằng lực theo trục thẳng đứng:** Lực điện hướng lên trục, trọng lực hướng xuống, dây thẳng đứng nên lực căng dây ngang bằng 0. Cân bằng: \[ F_e = mg \] \[ k \frac{Q^2 x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = mg \] Giải \( Q \): \[ Q^2 = \frac{mg (x^2 + R^2)^{3/2}}{k x} \] \[ Q = \sqrt{ \frac{mg (x^2 + R^2)^{3/2}}{k x} } \] --- 9. **Thay số:** - \( m = 1 \times 10^{-3} kg \) - \( g = 9.8\, m/s^2 \) - \( x = 0.022\, m \) - \( R = 0.05\, m \) - \( k = 9 \times 10^9\, Nm^2/C^2 \) Tính \( (x^2 + R^2)^{3/2} \): \[ x^2 + R^2 = (0.022)^2 + (0.05)^2 = 0.000484 + 0.0025 = 0.002984 \] \[ (x^2 + R^2)^{3/2} = (0.002984)^{3/2} = (0.002984)^{1} \times \sqrt{0.002984} = 0.002984 \times \sqrt{0.002984} \] Tính \(\sqrt{0.002984}\): \[ \sqrt{0.002984} \approx 0.05462 \] Nên: \[ (x^2 + R^2)^{3/2} = 0.002984 \times 0.05462 = 0.0001629 \] --- Tính \( Q \): \[ Q = \sqrt{ \frac{(1 \times 10^{-3})(9.8)(0.0001629)}{9 \times 10^9 \times 0.022} } \] Tính tử số: \[ (1 \times 10^{-3})(9.8)(0.0001629) = 1 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.0001629 \approx 1.596 \times 10^{-6} \] Tính mẫu số: \[ 9 \times 10^9 \times 0.022 = 1.98 \times 10^8 \] Tỉ số: \[ \frac{1.596 \times 10^{-6}}{1.98 \times 10^8} = 8.06 \times 10^{-15} \] Lấy căn bậc hai: \[ Q = \sqrt{8.06 \times 10^{-15}} \approx 2.84 \times 10^{-7} C \] --- 10. **Kết luận:** Giá trị tính được \( Q \approx 2.8 \times 10^{-7} C = 28 \times 10^{-8} C \), tuy nhiên các đáp án cho là: - A: \(3 \times 10^{-8} C\) - B: \(6 \times 10^{-8} C\) - C: \(9 \times 10^{-8} C\) - D: \(12 \times 10^{-8} C\) Ta tính giá trị lớn hơn nhiều. Có thể do sai sót trong tính khoảng cách \( x \). --- **Kiểm tra lại khoảng cách \( x \):** Điểm treo ở trên vòng tại \( y=R = 0.05\,m \), dây dài \( l=0.072\,m \). Quả cầu nằm trên trục thẳng đứng qua tâm vòng, nên tọa độ quả cầu theo phương thẳng đứng là: \[ y = 0.05 - l = 0.05 - 0.072 = -0.022\, m \] Khoảng cách từ tâm vòng đến quả cầu trên trục: \[ x = |y| = 0.022\, m \] --- Nếu tính khoảng cách theo hướng khác thì sao? Điện trường trên trục vòng nằm dọc trục, khoảng cách từ tâm vòng đến quả cầu. Vậy dữ kiện đã chính xác. --- **Tuy nhiên, điện tích của quả cầu là \( q=Q \), nhưng đây là quả cầu nhỏ tích điện bằng \( q=Q \) được treo vào vòng tích điện \( Q \), có thể hiểu \( q=Q \), nhưng cách tính lực điện có thể sai do cách tính điện trường. Điện trường trên trục vòng: \[ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = k \frac{Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] Lực điện: \[ F_e = q E = Q \times E = k \frac{Q^2 x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] Nếu thay \( Q = q \), thì lực điện tỉ lệ với \( Q^2 \). --- **Đặt:** \[ F_e = mg \Rightarrow k \frac{Q^2 x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = mg \] Giải \( Q \): \[ Q = \sqrt{ \frac{mg (x^2 + R^2)^{3/2}}{k x} } \] --- **Thay số:** - \( m = 10^{-3} kg \) - \( g = 9.8\, m/s^2 \) - \( k = 9 \times 10^9 \) - \( x = 0.022\, m \) - \( R = 0.05\, m \) Tính \( (x^2 + R^2)^{3/2} \): \[ x^2 + R^2 = 0.022^2 + 0.05^2 = 0.000484 + 0.0025 = 0.002984 \] \[ (x^2 + R^2)^{3/2} = (0.002984)^{1.5} = 0.002984 \times \sqrt{0.002984} = 0.002984 \times 0.05462 = 0.0001629 \] Tính tử số: \[ mg (x^2 + R^2)^{3/2} = 10^{-3} \times 9.8 \times 0.0001629 = 1.596 \times 10^{-6} \] Tính mẫu số: \[ k x = 9 \times 10^9 \times 0.022 = 1.98 \times 10^8 \] Tỉ số: \[ \frac{1.596 \times 10^{-6}}{1.98 \times 10^8} = 8.06 \times 10^{-15} \] Căn bậc hai: \[ Q = \sqrt{8.06 \times 10^{-15}} = 2.84 \times 10^{-7} C \] --- **So sánh với đáp án:** Kết quả lớn hơn tất cả các đáp án trong bài, có thể do giả thiết quả cầu có điện tích bằng \( Q \) trên vòng dây là không hợp lý, hoặc giả sử điện tích trên vòng dây là \( Q \), còn điện tích quả cầu là \( q \) và \( q \neq Q \). Nếu quả cầu tích điện \( q \), vòng tích điện \( Q \), lực điện: \[ F_e = k \frac{Q q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \] Nếu \( q \) nhỏ hơn \( Q \), ta phải biết \( q \) mới tính được. --- **Giả sử \( q \ll Q \), và bài cho \( q=Q \) là dấu hiệu để lấy \( q=Q \).