Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Kẻ HF vuông góc AC tại F.
a) Chứng minh: AH = EF
b) Cho biết AB = 3cm; AC = 4cm. Tính HB; HC; АН
c) Chứng Minh: AE.EB + AF.FC = AH2
d) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: AI vuông góc EF

Question

Accepted Answer

a) Ta có tứ giác AEHF nội tiếp (góc vuông) nên $\widehat{AEH} = \widehat{AFH}$. 
Tứ giác AHCB nội tiếp (góc vuông) nên $\widehat{ABH} = \widehat{ACH}$. 
$\widehat{EHA} = \widehat{FHC}$ (đối đỉnh). 
Do đó $\Delta AHE = \Delta CHF$ (góc - cạnh - góc). 
Suy ra AH = EF.
b) Ta có $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = 5$ cm. 
$\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC}$ nên $AH = \frac{12}{5}$ cm. 
$\frac{CH}{AC} = \frac{AC}{BC}$ nên $CH = \frac{16}{5}$ cm. 
HB = BC - CH = 3 - $\frac{16}{5}$ = $\frac{9}{5}$ cm.
c) Ta có $\frac{AE}{AH} = \frac{AH}{AC}$ nên $AE.AC = AH^2$. 
Mà $AE.AC = AE.(AF + FC) = AE.AF + AE.FC$. 
Ta lại có $\Delta AEF = \Delta CEB$ (góc - cạnh - góc) nên $AE.FC = AF.EB$. 
Suy ra $AE.AF + AF.EB = AH^2$.
d) Ta có $\widehat{AIE} = \widehat{ABC}$ (giao của đường kính và dây cung). 
Mà $\widehat{ABC} = \widehat{ACH}$ (tứ giác AHCB nội tiếp). 
$\widehat{ACH} = \widehat{AEH}$ (tứ giác AEHF nội tiếp). 
Suy ra $\widehat{AIE} = \widehat{AEH} = 90^\circ$. 
Vậy AI vuông góc EF.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Kẻ HF vuông góc AC tại F. a) Chứng minh: AH = EF b) Cho biết AB = 3cm; AC = 4cm. Tính HB; HC; АН c) Chứng Minh: AE.EB + AF.FC =...