Câu 2.
a) Chứng minh:
Ta có:
Cộng hai biểu thức trên lại:
Vậy ta đã chứng minh được:
b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Ta đã chứng minh ở phần a) rằng:
Do , nên ta có:
Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Câu 3.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Biểu diễn theo :
Bước 2: Thay vào biểu thức :
Bước 3: Xét biểu thức . Ta nhận thấy đây là một tam thức bậc hai theo . Để tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai này, ta sử dụng công thức tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai là:
Trong đó .
Bước 4: Áp dụng công thức:
Do , tam thức bậc hai luôn dương và có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị parabol.
Bước 5: Tìm giá trị của tại đỉnh của đồ thị parabol:
Bước 6: Thay vào biểu thức :
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi là 2, đạt được khi và .
Đáp số:
Câu 4.
a) Ta có:
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có:
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM:
Do đó:
c) Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
Vậy giá trị lớn nhất của tích là , đạt được khi . Thay vào , ta có:
Vậy giá trị lớn nhất của là , đạt được khi và .
Câu 5.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điều kiện , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Áp dụng công thức :
Bước 2: Thay vào biểu thức:
Bước 3: Ta biết rằng , do đó . Thay vào biểu thức:
Bước 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất của , ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương:
Bước 5: Ta thấy rằng vì bình phương của một số thực luôn không âm. Do đó, giá trị nhỏ nhất của xảy ra khi , tức là khi .
Khi , ta có .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
Đáp số: khi và .
Câu 6.
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi , ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức.
Bước 1: Xét biểu thức :
Bước 2: Ta biết rằng:
Bước 3: Gọi . Thay vào biểu thức trên:
Bước 4: Ta cần tìm giá trị lớn nhất của . Để làm điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức :
Bước 5: Thay vào biểu thức :
Bước 6: Ta thấy rằng để đạt giá trị lớn nhất, cần đạt giá trị nhỏ nhất. Ta sẽ xét trường hợp :
Bước 7: Thay và vào biểu thức :
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2, đạt được khi và .
Đáp số:
Câu 7.
Để chứng minh bất đẳng thức , ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Ta viết lại vế trái của bất đẳng thức:
Bước 2: Ta viết lại vế phải của bất đẳng thức:
Bước 3: Ta cần chứng minh:
Bước 4: Ta trừ cả hai vế đi :
Bước 5: Ta nhóm các hạng tử ở vế trái và vế phải:
Bước 6: Ta nhân cả hai vế với 2 để dễ dàng nhận thấy cấu trúc:
Bước 7: Ta nhóm lại các hạng tử:
Bước 8: Ta nhận thấy rằng:
Bước 9: Ta nhóm lại theo cấu trúc:
Bước 10: Ta nhận thấy rằng:
Bước 11: Ta rút gọn:
Bước 12: Ta nhận thấy rằng:
Bước 13: Ta nhận thấy rằng:
Bước 14: Ta nhận thấy rằng và vì a và b là các số dương, do đó:
Vậy ta đã chứng minh được:
Đáp số: Đã chứng minh được .
Câu 8.
Để tìm mối liên hệ giữa các số và biết rằng , chúng ta sẽ xét các trường hợp khác nhau dựa trên các giá trị của và .
1. Xét trường hợp và :
- Trong trường hợp này, và .
- Ta có .
- Điều này dẫn đến hay .
2. Xét trường hợp và :
- Trong trường hợp này, và .
- Ta có .
- Điều này dẫn đến hay .
3. Xét trường hợp và :
- Trong trường hợp này, và .
- Ta có .
- Điều này dẫn đến hay .
4. Xét trường hợp và :
- Trong trường hợp này, và .
- Ta có .
- Điều này dẫn đến hay .
Tóm lại, để , ta có các trường hợp sau:
- khi và .
- khi và .
- khi và .
- khi và .
Như vậy, mối liên hệ giữa các số và là:
- và đều dương hoặc và đều âm.
- dương và âm nhưng .
- âm và dương nhưng .
Đáp số: và đều dương hoặc và đều âm; dương và âm nhưng ; âm và dương nhưng .
Câu 9.
a) Ta có:
Vậy
b) Áp dụng kết quả ở phần a) ta có:
Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
Mà nên
Hay