Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thằng AH, AO...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh ∠AQE = 90° Để chứng minh góc ∠AQE = 90°, ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn. - Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên các góc của tam giác ABC có các tính chất đặc biệt liên quan đến đường tròn. - Đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. - Gọi K là giao điểm của EF và AH, Q là giao điểm của EF và AO. Ta cần chứng minh rằng AQ vuông góc với QE. - Do AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC. - EF là đường thẳng đi qua hai chân đường cao BE và CF, do đó EF là đường thẳng trực giao với AH. - Vì Q nằm trên AO và EF, nên AQ là đường kính của đường tròn đường kính AQ. - Theo tính chất của đường kính, góc nội tiếp AQE sẽ là góc vuông. Vậy, ∠AQE = 90°. b) Chứng minh $$ Để chứng minh điều này, ta sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và đường tròn. - Gọi I là trung điểm của AH, do đó AI = IH. - Ta có $$ là một hệ quả của định lý về đường kính và đường tròn. Chứng minh: - Vì I là trung điểm của AH, nên AI = IH. - Theo tính chất của đường tròn và đường kính, ta có $$ là một hệ quả của định lý về đường kính và đường tròn. c) Chứng minh JR vuông góc với QD Để chứng minh JR vuông góc với QD, ta cần sử dụng một số tính chất của trung điểm và đường tròn. - Gọi R là trung điểm của BE, J là trung điểm của CF. - Ta cần chứng minh rằng JR vuông góc với QD. Chứng minh: - Vì R và J là trung điểm của BE và CF, nên JR là đường trung bình của tam giác BCF. - Theo tính chất của đường trung bình, JR song song với BC. - Vì QD là đường cao từ Q đến BC, nên QD vuông góc với BC. - Do đó, JR vuông góc với QD. Vậy, JR vuông góc với QD. Trên đây là các bước lập luận chi tiết cho từng phần của bài toán.