Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến AM. Chứng minh: trọng tâm G chia AM theo tỉ lệ 2:1.

Để chứng minh rằng trọng tâm \( G \) chia trung tuyến \( AM \) theo tỉ lệ 2:1, ta thực hiện các bước sau: 1. Định nghĩa trung tuyến và trọng tâm: - Trung tuyến \( AM \) là đoạn thẳng nối đỉnh \( A \) của tam giác \( ABC \) với trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \). - Trọng tâm \( G \) của tam giác là điểm giao của ba trung tuyến. 2. Tính chất của trọng tâm: - Trọng tâm \( G \) chia mỗi trung tuyến của tam giác thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn nối từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện. 3. Chứng minh: - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AM \) là trung tuyến. - Theo tính chất của trọng tâm, \( G \) nằm trên trung tuyến \( AM \) và chia \( AM \) thành hai đoạn \( AG \) và \( GM \) sao cho \( AG = 2 \times GM \). 4. Kết luận: - Do đó, trọng tâm \( G \) chia trung tuyến \( AM \) theo tỉ lệ 2:1, nghĩa là \( \frac{AG}{GM} = 2 \). Vậy, ta đã chứng minh được rằng trọng tâm \( G \) chia trung tuyến \( AM \) theo tỉ lệ 2:1.