Câu 1.Một người khối lượng M = 50kg đứng ở đầu mép A của một tấm ván mỏng khối lượng m = 10kg dài l = 3m đặt trên mặt phẳng nhẵn nàm ngang. Người này bắt đầu thực hiện cú bật nhảy xa để sao cho người...

Cho bài toán: - Người có khối lượng M = 50 kg đứng ở mép A của tấm ván. - Tấm ván khối lượng m = 10 kg, dài l = 3 m. - Tấm ván đặt trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang (không ma sát). - Người bật nhảy sao cho khi người rơi thì chạm mép B của tấm ván. - Bỏ qua sức cản không khí. - Lấy g = 10 m/s². - Cần tìm tốc độ ban đầu tối thiểu của người để cú nhảy thành công. --- **Phân tích bài toán:** - Khi người đứng ở đầu A bật nhảy với vận tốc ban đầu \( v_0 \) theo phương ngang (giả sử theo chiều dài tấm ván), thì người sẽ rơi xuống điểm B (một đầu kia của tấm ván). - Vì tấm ván không ma sát với mặt phẳng, và có thể chuyển động ngang do phản lực của người nhảy. - Hệ gồm người và tấm ván không có lực ngoài theo phương ngang → Động lượng ngang của hệ được bảo toàn. --- **Bước 1: Đặt hệ quy chiếu và các biến** - Ban đầu, người và ván đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. - Người bật nhảy với vận tốc \( v_0 \) theo chiều từ A đến B (theo chiều dài tấm ván). - Tấm ván sẽ chuyển động ngược chiều với vận tốc \( v \) (cần tìm). --- **Bước 2: Bảo toàn động lượng ngang** Ban đầu động lượng ngang tổng bằng 0, sau nhảy: \[ M v_0 + m v = 0 \Rightarrow m v = - M v_0 \Rightarrow v = - \frac{M}{m} v_0 \] Chiều chuyển động của ván ngược chiều người nhảy. --- **Bước 3: Tính thời gian rơi của người** Người rơi từ mép A đến mép B, có chiều dài tấm ván là \( l = 3 m \). Tuy nhiên, tấm ván cũng di chuyển, nên vị trí mép B của ván cũng thay đổi. Vị trí ban đầu: - Người ở \( x_p(0) = 0 \) (đầu A) - Mép B ở \( x_B(0) = l = 3 m \) Sau khi nhảy, trong khoảng thời gian \( t \): - Người di chuyển theo phương ngang với vận tốc \( v_0 \), vị trí người theo thời gian: \[ x_p(t) = v_0 t \] - Mép B của tấm ván chuyển động ngược chiều với vận tốc \( v \), vị trí mép B theo thời gian: \[ x_B(t) = l + v t = 3 + v t = 3 - \frac{M}{m} v_0 t \] --- **Bước 4: Điều kiện để người rơi chạm mép B** Khi người rơi chạm mép B tức là: \[ x_p(t) = x_B(t) \] Suy ra: \[ v_0 t = 3 - \frac{M}{m} v_0 t \] \[ v_0 t + \frac{M}{m} v_0 t = 3 \] \[ v_0 t \left(1 + \frac{M}{m}\right) = 3 \] \[ v_0 t \left(\frac{m + M}{m}\right) = 3 \] \[ v_0 t = \frac{3 m}{m + M} \] --- **Bước 5: Thời gian rơi của người** Người rơi xuống mép B với chiều cao ngang bằng mặt ván (giả sử độ cao nhảy bằng 0?), bài toán chỉ cho biết người bật nhảy để rơi xuống mép B. Có vẻ người bật nhảy theo phương ngang, không có chiều cao. Nếu không có chiều cao thì thời gian rơi bằng 0, không hợp lý. Có thể giả sử người bật nhảy theo phương ngang từ mặt đất với vận tốc ngang \( v_0 \), người rơi theo phương thẳng đứng dưới tác dụng trọng lực với gia tốc g. Khi người rơi chạm mặt đất (chiều cao h), thời gian rơi là: \[ t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \] Nhưng ở đây không cho chiều cao nhảy h, có thể hiểu người đứng trên tấm ván rồi bật nhảy bay ngang qua đầu mép B, rơi xuống mép B. Do đó, giả sử người bật nhảy bay ngang (vận tốc ngang \( v_0 \)) và rơi tự do từ độ cao h (bằng chiều cao đứng của người), trong thời gian \( t \), người đi được quãng đường ngang bằng \( v_0 t \). Chiều cao không cho trong đề bài nên không thể tính chính xác thời gian rơi, do đó ta giả thiết: - Thời gian rơi t được cho bởi chiều cao h (giả sử h). Ở đây, người đứng trên tấm ván (giả sử chiều cao h=0), người nhảy ngang với vận tốc \( v_0 \), rơi tự do theo phương thẳng đứng (không vận tốc đầu theo phương đứng). Do đó: \[ t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \] Nếu không có h, không thể tính t. Có thể giả định h rất nhỏ → t gần 0, như vậy người không thể bay ngang để rơi ở mép B. Vì đề bài không cho chiều cao, có thể người nhảy từ mép A theo phương ngang với vận tốc \( v_0 \) và rơi tự do dưới tác dụng trọng lực, trong thời gian t. Thời gian rơi t là khoảng thời gian rơi từ độ cao h, người đi được quãng đường ngang \( v_0 t \). Do đó: \[ v_0 t = \frac{3 m}{m + M} \] \[ t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \] Kết hợp: \[ v_0 \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \frac{3 m}{m + M} \] \[ v_0 = \frac{3 m}{m + M} \sqrt{\frac{g}{2 h}} \] Vậy tốc độ tối thiểu phụ thuộc chiều cao h. --- **Kết luận:** Để giải đúng bài toán, cần biết chiều cao rơi h, hoặc thời gian rơi t. Nếu giả sử người nhảy không có chiều cao rơi (tức là người và tấm ván cùng mặt phẳng), thì: - Người không thể nhảy bay ngang vượt qua mép B vì tấm ván sẽ trượt ngược lại. - Nếu bỏ qua chiều cao, có thể coi người bật nhảy bay theo phương ngang với vận tốc \( v_0 \) để vượt quãng đường 3m nhưng tấm ván trượt về phía ngược lại với vận tốc \( v = -\frac{M}{m} v_0 \). Ta cần thời gian t để người rơi xuống mép B. Giả sử người nhảy lên cao h (giả sử h = 1.25 m), một chiều cao bật nhảy phổ biến (có thể ước lượng), ta có: \[ t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.25}{10}} = \sqrt{0.25} = 0.5 s \] Lúc này: \[ v_0 t = \frac{3 m}{m + M} = \frac{3 \times 10}{10 + 50} = \frac{30}{60} = 0.5 m \] \[ v_0 = \frac{0.5}{0.5} = 1 m/s \] --- **Đáp số:** Tốc độ ban đầu tối thiểu người bật nhảy là khoảng **1.00 m/s** (giá trị gần đúng tùy theo chiều cao rơi h). --- **Lưu ý:** Bài toán cần cung cấp thêm thông tin về chiều cao nhảy hoặc thời gian rơi để có thể tính chính xác tốc độ ban đầu \( v_0 \). Nếu không có thì chỉ có thể biểu diễn tốc độ theo biến thời gian hoặc chiều cao rơi. --- **Tóm tắt đáp án:** - Gọi t là thời gian rơi từ độ cao h. - Tốc độ tối thiểu: \[ \boxed{ v_0 = \frac{3 m}{m + M} \cdot \frac{1}{t} } \] với \[ t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \] Nếu lấy h = 1.25 m, t = 0.5 s, thì \( v_0 = 1.00 \) m/s.