Cho con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T. Ta có các dữ kiện:
- Ở thời điểm t, vật cách vị trí cân bằng 5 cm = 0,05 m
- Ở thời điểm t + 2,75T, vật có tốc độ 50 cm/s = 0,5 m/s
- Lấy g = 10 m/s²
Yêu cầu: Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn bao nhiêu mét?
---
**Giải:**
1. Phương trình chuyển động của con lắc lò xo dao động điều hòa có dạng:
\[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \]
với
\[
\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
2. Vận tốc của vật là:
\[
v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)
\]
3. Ở thời điểm t:
\[
x(t) = 0,05 = A \cos(\theta)
\]
với \(\theta = \omega t + \varphi\).
4. Ở thời điểm \(t + 2,75T\), vì dao động tuần hoàn với chu kỳ T, ta có:
\[
x(t + 2,75T) = x(t + 0,75T) = A \cos(\omega t + \varphi + 0,75 \times 2\pi) = A \cos(\theta + \frac{3\pi}{2})
\]
Sử dụng lượng giác:
\[
\cos\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\theta + 270^\circ\right) = -\sin \theta
\]
Tương tự vận tốc tại thời điểm này:
\[
v(t + 2,75T) = v(t + 0,75T) = -A \omega \sin\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = -A \omega \sin(\theta + 270^\circ)
\]
Sử dụng lượng giác:
\[
\sin\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin(\theta + 270^\circ) = \cos \theta
\]
Vậy:
\[
v(t + 2,75T) = -A \omega \cos \theta
\]
5. Ta có 2 phương trình:
\[
x(t) = A \cos \theta = 0,05 \quad (1)
\]
\[
v(t + 2,75T) = -A \omega \cos \theta = 0,5 \quad (2)
\]
Từ (1) suy ra:
\[
\cos \theta = \frac{0,05}{A}
\]
Thay vào (2):
\[
v(t + 2,75T) = -A \omega \cdot \frac{0,05}{A} = -\omega \times 0,05 = 0,5 \Rightarrow -\omega \times 0,05 = 0,5
\]
\[
-\omega \times 0,05 = 0,5 \Rightarrow \omega = -\frac{0,5}{0,05} = -10 \quad (\text{vì } \omega > 0, lấy } \omega = 10)
\]
6. Ta có:
\[
\omega = 10 \quad \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, \text{(giây)}
\]
7. Từ (1), để xác định biên độ A:
\[
\cos \theta = \frac{0,05}{A} \Rightarrow A \geq 0,05
\]
Không đủ thông tin để xác định chính xác \(\cos \theta\), nhưng ta có thể tính vận tốc cực đại:
Vận tốc cực đại:
\[
v_{\max} = A \omega
\]
8. Khi vật qua vị trí cân bằng thì vận tốc là cực đại \(v_{\max} = A \omega\).
9. Ta đã có \(\omega = 10\), và cần tìm \(A\). Từ (2):
\[
0,5 = |v(t + 2,75T)| = A \omega |\cos \theta| = 10 A |\cos \theta|
\]
Nhưng từ (1):
\[
|\cos \theta| = \frac{0,05}{A}
\]
Thay vào:
\[
0,5 = 10 A \times \frac{0,05}{A} = 10 \times 0,05 = 0,5
\]
Điều này khớp với giả thiết, chứng tỏ các tính toán trên phù hợp với mọi A ≥ 0,05.
Vậy A có thể lấy là bất kỳ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng 0,05 m, tuy nhiên để vận tốc tại thời điểm t + 2,75T bằng 0,5 m/s thì A cần thoả mãn điều kiện này.
Nhưng vận tốc cực đại \(v_{\max} = A \omega\), do đó:
\[
v_{\max} = A \times 10
\]
Ta cũng có:
\[
v(t + 2,75T) = v_{\max} \cos \theta = 0,5
\]
Và
\[
x(t) = A \cos \theta = 0,05
\]
Từ hai phương trình này:
\[
v(t + 2,75T) = \omega x(t) = 10 \times 0,05 = 0,5
\]
Đúng với dữ kiện đề bài.
Do đó biên độ A có thể được tính từ:
\[
x(t) = A \cos \theta = 0,05
\]
Và khi vật qua vị trí cân bằng, lò xo dãn:
\[
x_0 = \frac{mg}{k}
\]
Chuyển sang câu hỏi lò xo dãn khi vật ở vị trí cân bằng.
---
**Tính độ dãn lò xo tại vị trí cân bằng:**
Ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi cân bằng trọng lực:
\[
k \Delta l = mg
\]
\[
\Delta l = \frac{mg}{k}
\]
Ta cần tính \(\Delta l\).
---
**Tính k:**
Ta có chu kì con lắc lò xo:
\[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}
\]
Nhưng ta chưa biết m, vì chưa được cho.
---
**Tính m:**
Từ vận tốc cực đại:
\[
v_{\max} = A \omega = A \times 10
\]
Ta không biết A, không biết m.
Ta biết:
\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10 \Rightarrow k = 100 m
\]
Như vậy:
\[
\Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{mg}{100 m} = \frac{g}{100} = \frac{10}{100} = 0,1 \text{ (m)}
\]
Vậy độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là 0,1 m.
---
**Kết luận:**
- Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là \( \boxed{0,1 \text{ m}} \).