Câu 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điêu hòa với chu kì T. Biết ở thời điểm t vật cách vị trí cân bằng 5 cm, ở thời điểm t + 2,75T vật có tốc độ 50 cm/s. Hỏi khi vật ở vị trí cân bằng lò...

Cho con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T. Ta có các dữ kiện: - Ở thời điểm t, vật cách vị trí cân bằng 5 cm = 0,05 m - Ở thời điểm t + 2,75T, vật có tốc độ 50 cm/s = 0,5 m/s - Lấy g = 10 m/s² Yêu cầu: Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn bao nhiêu mét? --- **Giải:** 1. Phương trình chuyển động của con lắc lò xo dao động điều hòa có dạng: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] với \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] 2. Vận tốc của vật là: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] 3. Ở thời điểm t: \[ x(t) = 0,05 = A \cos(\theta) \] với \(\theta = \omega t + \varphi\). 4. Ở thời điểm \(t + 2,75T\), vì dao động tuần hoàn với chu kỳ T, ta có: \[ x(t + 2,75T) = x(t + 0,75T) = A \cos(\omega t + \varphi + 0,75 \times 2\pi) = A \cos(\theta + \frac{3\pi}{2}) \] Sử dụng lượng giác: \[ \cos\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\theta + 270^\circ\right) = -\sin \theta \] Tương tự vận tốc tại thời điểm này: \[ v(t + 2,75T) = v(t + 0,75T) = -A \omega \sin\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = -A \omega \sin(\theta + 270^\circ) \] Sử dụng lượng giác: \[ \sin\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin(\theta + 270^\circ) = \cos \theta \] Vậy: \[ v(t + 2,75T) = -A \omega \cos \theta \] 5. Ta có 2 phương trình: \[ x(t) = A \cos \theta = 0,05 \quad (1) \] \[ v(t + 2,75T) = -A \omega \cos \theta = 0,5 \quad (2) \] Từ (1) suy ra: \[ \cos \theta = \frac{0,05}{A} \] Thay vào (2): \[ v(t + 2,75T) = -A \omega \cdot \frac{0,05}{A} = -\omega \times 0,05 = 0,5 \Rightarrow -\omega \times 0,05 = 0,5 \] \[ -\omega \times 0,05 = 0,5 \Rightarrow \omega = -\frac{0,5}{0,05} = -10 \quad (\text{vì } \omega > 0, lấy } \omega = 10) \] 6. Ta có: \[ \omega = 10 \quad \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, \text{(giây)} \] 7. Từ (1), để xác định biên độ A: \[ \cos \theta = \frac{0,05}{A} \Rightarrow A \geq 0,05 \] Không đủ thông tin để xác định chính xác \(\cos \theta\), nhưng ta có thể tính vận tốc cực đại: Vận tốc cực đại: \[ v_{\max} = A \omega \] 8. Khi vật qua vị trí cân bằng thì vận tốc là cực đại \(v_{\max} = A \omega\). 9. Ta đã có \(\omega = 10\), và cần tìm \(A\). Từ (2): \[ 0,5 = |v(t + 2,75T)| = A \omega |\cos \theta| = 10 A |\cos \theta| \] Nhưng từ (1): \[ |\cos \theta| = \frac{0,05}{A} \] Thay vào: \[ 0,5 = 10 A \times \frac{0,05}{A} = 10 \times 0,05 = 0,5 \] Điều này khớp với giả thiết, chứng tỏ các tính toán trên phù hợp với mọi A ≥ 0,05. Vậy A có thể lấy là bất kỳ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng 0,05 m, tuy nhiên để vận tốc tại thời điểm t + 2,75T bằng 0,5 m/s thì A cần thoả mãn điều kiện này. Nhưng vận tốc cực đại \(v_{\max} = A \omega\), do đó: \[ v_{\max} = A \times 10 \] Ta cũng có: \[ v(t + 2,75T) = v_{\max} \cos \theta = 0,5 \] Và \[ x(t) = A \cos \theta = 0,05 \] Từ hai phương trình này: \[ v(t + 2,75T) = \omega x(t) = 10 \times 0,05 = 0,5 \] Đúng với dữ kiện đề bài. Do đó biên độ A có thể được tính từ: \[ x(t) = A \cos \theta = 0,05 \] Và khi vật qua vị trí cân bằng, lò xo dãn: \[ x_0 = \frac{mg}{k} \] Chuyển sang câu hỏi lò xo dãn khi vật ở vị trí cân bằng. --- **Tính độ dãn lò xo tại vị trí cân bằng:** Ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi cân bằng trọng lực: \[ k \Delta l = mg \] \[ \Delta l = \frac{mg}{k} \] Ta cần tính \(\Delta l\). --- **Tính k:** Ta có chu kì con lắc lò xo: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \] Nhưng ta chưa biết m, vì chưa được cho. --- **Tính m:** Từ vận tốc cực đại: \[ v_{\max} = A \omega = A \times 10 \] Ta không biết A, không biết m. Ta biết: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10 \Rightarrow k = 100 m \] Như vậy: \[ \Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{mg}{100 m} = \frac{g}{100} = \frac{10}{100} = 0,1 \text{ (m)} \] Vậy độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là 0,1 m. --- **Kết luận:** - Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là \( \boxed{0,1 \text{ m}} \).