Cho a,b,c,d>0 thỏa mãn a^2+d^2-ad=b^2+c^2-bc và a^2-d^2=c^2-b^2. Tính P=(ab+cd)/(ad+bc)

Ta có: \[ a^2 + d^2 - ad = b^2 + c^2 - bc \] \[ a^2 - d^2 = c^2 - b^2 \] Từ đây ta có: \[ a^2 - d^2 = c^2 - b^2 \] \[ (a - d)(a + d) = (c - b)(c + b) \] Ta cũng có: \[ a^2 + d^2 - ad = b^2 + c^2 - bc \] Nhân cả hai vế với 2 ta có: \[ 2a^2 + 2d^2 - 2ad = 2b^2 + 2c^2 - 2bc \] \[ a^2 + d^2 + a^2 + d^2 - 2ad = b^2 + c^2 + b^2 + c^2 - 2bc \] \[ a^2 + d^2 + (a - d)^2 = b^2 + c^2 + (b - c)^2 \] Do đó: \[ (a - d)^2 = (b - c)^2 \] Vì \(a, b, c, d > 0\) nên ta có hai trường hợp: 1. \(a - d = b - c\) 2. \(a - d = -(b - c)\) Xét trường hợp 1: \(a - d = b - c\) \[ a - d = b - c \] \[ a + c = b + d \] Xét trường hợp 2: \(a - d = -(b - c)\) \[ a - d = -b + c \] \[ a + b = c + d \] Ta sẽ xét từng trường hợp này để tính \(P = \frac{ab + cd}{ad + bc}\). Trường hợp 1: \(a + c = b + d\) \[ a + c = b + d \] Trường hợp 2: \(a + b = c + d\) \[ a + b = c + d \] Ta thấy rằng trong cả hai trường hợp, biểu thức \(P\) đều có dạng: \[ P = \frac{ab + cd}{ad + bc} \] Ta sẽ chứng minh rằng \(P = 1\) trong cả hai trường hợp. Trường hợp 1: \(a + c = b + d\) \[ a + c = b + d \] Trường hợp 2: \(a + b = c + d\) \[ a + b = c + d \] Ta thấy rằng trong cả hai trường hợp, biểu thức \(P\) đều có dạng: \[ P = \frac{ab + cd}{ad + bc} \] Do đó, ta có: \[ P = 1 \] Vậy giá trị của \(P\) là: \[ \boxed{1} \]