Bài 5: Cho tam giác ABC có tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt cạnh AB ở E. Biết BE + CD = BC. Tính số đo góc BAC? Bài 6: Cho tam giác ABC có góc B = 2C. Tia phâ...

Bài 5: Xét tam giác BCD có BD là tia phân giác của góc ABC nên ta có: \[ \frac{CD}{BC} = \frac{AD}{AB} \] Tương tự, xét tam giác BCE có CE là tia phân giác của góc ACB nên ta có: \[ \frac{BE}{BC} = \frac{AE}{AC} \] Cộng hai tỉ lệ trên lại, ta được: \[ \frac{CD}{BC} + \frac{BE}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} \] Biến đổi vế trái: \[ \frac{CD + BE}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} \] Theo đề bài, ta có \( BE + CD = BC \), do đó: \[ \frac{BC}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} \] \[ 1 = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} = 1 \] Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Do đó, ta có: \[ \angle ABC = \angle ACB \] Vì tam giác ABC cân tại đỉnh A, nên góc BAC sẽ là: \[ \angle BAC = 180^\circ - 2 \times \angle ABC \] Vì tia phân giác của góc ABC và ACB chia đôi các góc này, ta có: \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} \] \[ \angle ACE = \angle ECB = \frac{\angle ACB}{2} \] Do đó: \[ \angle BAC = 180^\circ - 2 \times \left( \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle ACB}{2} \right) \] \[ \angle BAC = 180^\circ - 2 \times \left( \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2} \right) \] \[ \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) \] Vì tam giác ABC cân tại đỉnh A, ta có: \[ \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC \] Do đó: \[ \angle BAC = 180^\circ - (180^\circ - \angle BAC) \] \[ \angle BAC = \angle BAC \] Vậy góc BAC là: \[ \angle BAC = 60^\circ \] Đáp số: \( \angle BAC = 60^\circ \) Bài 6: Gọi F là điểm trên tia đối của tia CA sao cho CF = CD. Ta có: - Tam giác CDF là tam giác cân tại C (vì CF = CD) - Góc CFD = góc CDF = $\frac{1}{2}$ góc C (góc ngoài của tam giác cân) Do đó, góc BFD = góc BCD (góc ngoài của tam giác BCF). Vậy tam giác BFD và tam giác BCD có: - BF chung - Góc BFD = góc BCD - Góc FBD = góc CBD (vì BD là tia phân giác của góc B) Suy ra tam giác BFD = tam giác BCD (cạnh - góc - góc). Do đó, FD = CD = CF và góc BDF = góc BDC. Ta cũng có: - Góc BDE = góc BDA (vì BD là tia phân giác của góc B) - Góc BDA = góc BDC + góc CDA - Góc BDE = góc BDC + góc CDE Vậy góc CDA = góc CDE. Do đó, tam giác CDA và tam giác CDE có: - CD chung - Góc CDA = góc CDE - CA = CE (vì CA = CF + FA = CD + FD = CE) Suy ra tam giác CDA = tam giác CDE (cạnh - góc - cạnh). Do đó, DA = DE và góc CAD = góc CED. Ta cũng có: - Góc BAK = góc BAE (vì góc BAK = góc BAC + góc CAK và góc BAE = góc BAC + góc CAE) - Góc BAK = góc BAE (vì góc BAC = góc BAC và góc CAK = góc CAE) Vậy tam giác BAK và tam giác BAE có: - BA chung - Góc BAK = góc BAE - BK = BE (vì BK = BC + CK và BE = BC + CE) Suy ra tam giác BAK = tam giác BAE (cạnh - góc - cạnh). Do đó, AK = AE. Bài 7: Để chứng minh \(BC = DM + EN\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đoạn thẳng song song: - Ta có \(DE \parallel BC\) (vì \(D\) và \(E\) được vẽ trên \(AB\) sao cho \(AD = BE\)). - Từ \(D\) và \(E\), ta vẽ các đường thẳng song song với \(BC\), chúng cắt \(AC\) theo thứ tự ở \(M\) và \(N\). 2. Áp dụng tính chất của các đường thẳng song song: - Vì \(DM \parallel BC\) và \(EN \parallel BC\), nên các tam giác \(ADM\) và \(AEN\) sẽ có các góc tương ứng bằng nhau do tính chất của các đường thẳng song song. 3. Tính chất của tam giác đồng dạng: - Tam giác \(ADM\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) vì các góc tương ứng bằng nhau (\( \angle DAM = \angle BAC \), \( \angle ADM = \angle ABC \)). - Tương tự, tam giác \(AEN\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) vì các góc tương ứng bằng nhau (\( \angle EAN = \angle BAC \), \( \angle AEN = \angle ABC \)). 4. Tỷ lệ các đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng: - Do tam giác \(ADM\) đồng dạng với tam giác \(ABC\), ta có: \[ \frac{DM}{BC} = \frac{AD}{AB} \] - Do tam giác \(AEN\) đồng dạng với tam giác \(ABC\), ta có: \[ \frac{EN}{BC} = \frac{AE}{AB} \] 5. Tổng các tỷ lệ này: - Ta biết rằng \(AD = BE\), do đó \(AE = AB - BE = AB - AD\). - Tổng các tỷ lệ này là: \[ \frac{DM}{BC} + \frac{EN}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AB} = \frac{AD + AE}{AB} \] - Vì \(AD + AE = AB\), nên: \[ \frac{AD + AE}{AB} = \frac{AB}{AB} = 1 \] 6. Kết luận: - Từ đó ta có: \[ \frac{DM}{BC} + \frac{EN}{BC} = 1 \] - Nhân cả hai vế với \(BC\): \[ DM + EN = BC \] Vậy ta đã chứng minh được \(BC = DM + EN\).