Bài 5: Cho tam giác ABC có tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt cạnh AB ở E. Biết BE + CD = BC. Tính số đo góc BAC?

Bài 6: Cho tam giác ABC có góc B = 2C. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của BD lấy E sao cho BE = AC. Trên tia đối của CB lấy K sao cho CK = AB. Chứng minh AE = AK.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy D à E sao cho AD = BE. Qua D, E vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh BC = DM + EN.

Question

Bài 5: Cho tam giác ABC có tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt cạnh AB ở E. Biết BE + CD = BC. Tính số đo góc BAC?

Bài 6: Cho tam giác ABC có góc B = 2C. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của BD lấy E sao cho BE = AC. Trên tia đối của CB lấy K sao cho CK = AB. Chứng minh AE = AK.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy D à E sao cho AD = BE. Qua D, E vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh BC = DM + EN.

Accepted Answer

Bài 5:
Xét tam giác BCD có BD là tia phân giác của góc ABC nên ta có:
$$ \frac{CD}{BC} = \frac{AD}{AB} $$
Tương tự, xét tam giác BCE có CE là tia phân giác của góc ACB nên ta có:
$$ \frac{BE}{BC} = \frac{AE}{AC} $$

Cộng hai tỉ lệ trên lại, ta được:
$$ \frac{CD}{BC} + \frac{BE}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} $$

Biến đổi vế trái:
$$ \frac{CD + BE}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} $$

Theo đề bài, ta có $ BE + CD = BC $, do đó:
$$ \frac{BC}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} $$
$$ 1 = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} $$

Ta thấy rằng:
$$ \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} = 1 $$

Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Do đó, ta có:
$$ \angle ABC = \angle ACB $$

Vì tam giác ABC cân tại đỉnh A, nên góc BAC sẽ là:
$$ \angle BAC = 180^\circ - 2 \times \angle ABC $$

Vì tia phân giác của góc ABC và ACB chia đôi các góc này, ta có:
$$ \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} $$
$$ \angle ACE = \angle ECB = \frac{\angle ACB}{2} $$

Do đó:
$$ \angle BAC = 180^\circ - 2 \times \left( \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle ACB}{2} \right) $$
$$ \angle BAC = 180^\circ - 2 \times \left( \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2} \right) $$
$$ \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) $$

Vì tam giác ABC cân tại đỉnh A, ta có:
$$ \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC $$

Do đó:
$$ \angle BAC = 180^\circ - (180^\circ - \angle BAC) $$
$$ \angle BAC = \angle BAC $$

Vậy góc BAC là:
$$ \angle BAC = 60^\circ $$

Đáp số: $ \angle BAC = 60^\circ $

Bài 6:
Gọi F là điểm trên tia đối của tia CA sao cho CF = CD. Ta có:
- Tam giác CDF là tam giác cân tại C (vì CF = CD)
- Góc CFD = góc CDF = $\frac{1}{2}$ góc C (góc ngoài của tam giác cân)

Do đó, góc BFD = góc BCD (góc ngoài của tam giác BCF). 
Vậy tam giác BFD và tam giác BCD có:
- BF chung
- Góc BFD = góc BCD
- Góc FBD = góc CBD (vì BD là tia phân giác của góc B)

Suy ra tam giác BFD = tam giác BCD (cạnh - góc - góc). 
Do đó, FD = CD = CF và góc BDF = góc BDC.

Ta cũng có:
- Góc BDE = góc BDA (vì BD là tia phân giác của góc B)
- Góc BDA = góc BDC + góc CDA
- Góc BDE = góc BDC + góc CDE

Vậy góc CDA = góc CDE. 
Do đó, tam giác CDA và tam giác CDE có:
- CD chung
- Góc CDA = góc CDE
- CA = CE (vì CA = CF + FA = CD + FD = CE)

Suy ra tam giác CDA = tam giác CDE (cạnh - góc - cạnh). 
Do đó, DA = DE và góc CAD = góc CED.

Ta cũng có:
- Góc BAK = góc BAE (vì góc BAK = góc BAC + góc CAK và góc BAE = góc BAC + góc CAE)
- Góc BAK = góc BAE (vì góc BAC = góc BAC và góc CAK = góc CAE)

Vậy tam giác BAK và tam giác BAE có:
- BA chung
- Góc BAK = góc BAE
- BK = BE (vì BK = BC + CK và BE = BC + CE)

Suy ra tam giác BAK = tam giác BAE (cạnh - góc - cạnh). 
Do đó, AK = AE.

Bài 7:
Để chứng minh $BC = DM + EN$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các đoạn thẳng song song:
   - Ta có $DE \parallel BC$ (vì $D$ và $E$ được vẽ trên $AB$ sao cho $AD = BE$).
   - Từ $D$ và $E$, ta vẽ các đường thẳng song song với $BC$, chúng cắt $AC$ theo thứ tự ở $M$ và $N$.

2. Áp dụng tính chất của các đường thẳng song song:
   - Vì $DM \parallel BC$ và $EN \parallel BC$, nên các tam giác $ADM$ và $AEN$ sẽ có các góc tương ứng bằng nhau do tính chất của các đường thẳng song song.

3. Tính chất của tam giác đồng dạng:
   - Tam giác $ADM$ đồng dạng với tam giác $ABC$ vì các góc tương ứng bằng nhau ($ \angle DAM = \angle BAC $, $ \angle ADM = \angle ABC $).
   - Tương tự, tam giác $AEN$ đồng dạng với tam giác $ABC$ vì các góc tương ứng bằng nhau ($ \angle EAN = \angle BAC $, $ \angle AEN = \angle ABC $).

4. Tỷ lệ các đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng:
   - Do tam giác $ADM$ đồng dạng với tam giác $ABC$, ta có:
     $$
     \frac{DM}{BC} = \frac{AD}{AB}
     $$
   - Do tam giác $AEN$ đồng dạng với tam giác $ABC$, ta có:
     $$
     \frac{EN}{BC} = \frac{AE}{AB}
     $$

5. Tổng các tỷ lệ này:
   - Ta biết rằng $AD = BE$, do đó $AE = AB - BE = AB - AD$.
   - Tổng các tỷ lệ này là:
     $$
     \frac{DM}{BC} + \frac{EN}{BC} = \frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AB} = \frac{AD + AE}{AB}
     $$
   - Vì $AD + AE = AB$, nên:
     $$
     \frac{AD + AE}{AB} = \frac{AB}{AB} = 1
     $$

6. Kết luận:
   - Từ đó ta có:
     $$
     \frac{DM}{BC} + \frac{EN}{BC} = 1
     $$
   - Nhân cả hai vế với $BC$:
     $$
     DM + EN = BC
     $$

Vậy ta đã chứng minh được $BC = DM + EN$.

Bài 5: Cho tam giác ABC có tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt cạnh AB ở E. Biết BE + CD = BC. Tính số đo góc BAC? Bài 6: Cho tam giác ABC có góc B = 2C. Tia phâ...