Đáp án đúng

Câu 1. Để xác định số lượng cực trị của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, chúng ta cần kiểm tra các điểm mà đạo hàm thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. Bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) cho thấy: - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \). - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Các điểm này là các điểm cực trị của hàm số: - \( x = -2 \) là điểm cực đại. - \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - \( x = 2 \) là điểm cực đại. Vậy hàm số đã cho có 4 cực trị. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 2. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và công bội $q=3$. Ta cần tìm giá trị của $u_2$. Theo công thức của cấp số nhân, ta có: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào $u_2$, ta có: \[ u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} = 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6 \] Vậy giá trị của $u_2$ là 6. Đáp án đúng là: D. 6. Câu 3. Khối lập phương cạnh bằng 3 có thể tích là: Công thức tính thể tích của khối lập phương là: \[ V = a^3 \] Trong đó \( a \) là độ dài cạnh của khối lập phương. Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \] Vậy thể tích của khối lập phương cạnh bằng 3 là 27. Đáp án đúng là: A. 27. Câu 4. Để tìm họ các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x} \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số dạng \( e^{ax} \). Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = e^{3x} \) có dạng \( e^{ax} \) với \( a = 3 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số \( e^{ax} \). Công thức nguyên hàm của hàm số \( e^{ax} \) là: \[ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \] Áp dụng vào hàm số \( f(x) = e^{3x} \): \[ \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \] Bước 3: Kết luận. Họ các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x} \) là: \[ \frac{1}{3} e^{3x} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{1}{3} e^{3x} + C \] Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Ta có: \[ \log(100a) \] Áp dụng tính chất logarit \(\log(ab) = \log a + \log b\), ta có: \[ \log(100a) = \log 100 + \log a \] Biết rằng \(\log 100 = \log(10^2) = 2\), nên: \[ \log(100a) = 2 + \log a \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~2 + \log a \] Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x+1)< \log_{\frac12}(2x-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 > 0 \] Giải các bất phương trình này: \[ x > -1 \quad \text{và} \quad x > \frac{1}{2} \] Do đó, điều kiện chung là: \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Vì cơ số của logarit là $\frac{1}{2}$ (một số nhỏ hơn 1), nên hàm logarit giảm. Do đó, bất phương trình $\log_{\frac12}(x+1)< \log_{\frac12}(2x-1)$ tương đương với: \[ x + 1 > 2x - 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình Giải bất phương trình: \[ x + 1 > 2x - 1 \] \[ 1 + 1 > 2x - x \] \[ 2 > x \] \[ x < 2 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có điều kiện xác định là $x > \frac{1}{2}$ và kết quả từ bất phương trình là $x < 2$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \] Đáp án: \[ A.~\left( \frac{1}{2}, 2 \right) \] Câu 7. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. $y = -x^2 + 2$ - Đây là hàm bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a < 0$. - Hàm số này có đỉnh ở $(0, 2)$ và đồ thị là một parabol mở xuống. - Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0, +\infty)$. - Vậy hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. B. $y = -2021x + 1$ - Đây là hàm bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a < 0$. - Với $a < 0$, hàm số này nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. C. $y = x^2 - 3x + 4$ - Đây là hàm bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a > 0$. - Hàm số này có đỉnh ở $(\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ và đồ thị là một parabol mở lên. - Do đó, hàm số này nghịch biến trên khoảng $(-\infty, \frac{3}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3}{2}, +\infty)$. - Vậy hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. D. $y = \frac{1}{x-1}$ - Đây là hàm phân thức có dạng $y = \frac{1}{x-1}$. - Hàm số này không xác định tại $x = 1$ và có hai nhánh đồ thị ở hai phía của đường thẳng $x = 1$. - Trên mỗi nhánh, hàm số này nghịch biến, nhưng không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ vì nó không xác định tại $x = 1$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số $y = -2021x + 1$ là nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: B. $y = -2021x + 1$. Câu 8. Để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của mỗi nhóm: - Nhóm [160; 164): Trung điểm là $\frac{160 + 164}{2} = 162$ - Nhóm [164; 168): Trung điểm là $\frac{164 + 168}{2} = 166$ - Nhóm [168; 172): Trung điểm là $\frac{168 + 172}{2} = 170$ - Nhóm [172; 176): Trung điểm là $\frac{172 + 176}{2} = 174$ - Nhóm [176; 180): Trung điểm là $\frac{176 + 180}{2} = 178$ 2. Nhân trung điểm của mỗi nhóm với tần số tương ứng: - Nhóm [160; 164): $162 \times 5 = 810$ - Nhóm [164; 168): $166 \times 6 = 996$ - Nhóm [168; 172): $170 \times 8 = 1360$ - Nhóm [172; 176): $174 \times 2 = 348$ - Nhóm [176; 180): $178 \times 1 = 178$ 3. Tính tổng của các giá trị đã nhân: \[ 810 + 996 + 1360 + 348 + 178 = 3692 \] 4. Tính tổng số học sinh: \[ 5 + 6 + 8 + 2 + 1 = 22 \] 5. Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: \[ \text{Số trung bình} = \frac{3692}{22} \approx 167,8 \] Vậy, số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 167,8. Đáp án đúng là: A. 167,8.