Tìm m để $\frac{IA}{IB}=4.$ Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol $(P):~y=-x^2$ và đường thẳng $d:~y=mx-1.$ Chứng minh,rằng d luôn đi qua một điểm cố định I và cắt (P) tại hai điểm A,B phân biệt khi m thay,đổi. Tìm m để $\frac{IA}{IB}=4.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 3
Để chứng minh rằng đường thẳng $d: y = mx - 1$ luôn đi qua một điểm cố định $I$ và cắt parabol $(P): y = -x^2$ tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt khi $m$ thay đổi, ta thực hiện các bước sau:

1. Chứng minh đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định $I$:
   - Xét phương trình của đường thẳng $d: y = mx - 1$. Ta thấy rằng khi $x = 0$, ta có $y = -1$. Do đó, đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $I(0, -1)$.

2. Chứng minh đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt:
   - Để tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$, ta giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     y = mx - 1 \
     y = -x^2
     \end{cases}
     $$
   - Thay $y = mx - 1$ vào $y = -x^2$, ta được:
     $$
     mx - 1 = -x^2 \implies x^2 + mx - 1 = 0
     $$
   - Đây là phương trình bậc hai $x^2 + mx - 1 = 0$. Ta tính $\Delta$ của phương trình này:
     $$
     \Delta = m^2 + 4 > 0 \quad \text{(luôn đúng với mọi } m)
     $$
   - Vì $\Delta > 0$, phương trình $x^2 + mx - 1 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đường thẳng $d$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt.

3. Tìm $m$ để $\frac{IA}{IB} = 4$:
   - Gọi $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ là hai giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$. Ta có:
     $$
     x_1 + x_2 = -m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = -1
     $$
   - Ta cần tìm $m$ sao cho $\frac{IA}{IB} = 4$. Điều này tương đương với:
     $$
     \frac{|x_1|}{|x_2|} = 4 \quad \text{hoặc} \quad \frac{|x_2|}{|x_1|} = 4
     $$
   - Giả sử $\frac{x_1}{x_2} = 4$ (vì $x_1$ và $x_2$ có thể cùng dấu hoặc trái dấu):
     $$
     x_1 = 4x_2
     $$
   - Thay vào $x_1 x_2 = -1$, ta được:
     $$
     4x_2 \cdot x_2 = -1 \implies 4x_2^2 = -1 \implies x_2^2 = -\frac{1}{4}
     $$
   - Điều này vô lý vì $x_2^2$ không thể âm. Do đó, ta giả sử $\frac{x_2}{x_1} = 4$:
     $$
     x_2 = 4x_1
     $$
   - Thay vào $x_1 x_2 = -1$, ta được:
     $$
     x_1 \cdot 4x_1 = -1 \implies 4x_1^2 = -1 \implies x_1^2 = -\frac{1}{4}
     $$
   - Điều này cũng vô lý. Do đó, ta cần xem xét lại các trường hợp khác.

- Ta thử lại với $x_1 = -4x_2$:
     $$
     x_1 = -4x_2
     $$
   - Thay vào $x_1 x_2 = -1$, ta được:
     $$
     (-4x_2) \cdot x_2 = -1 \implies -4x_2^2 = -1 \implies x_2^2 = \frac{1}{4} \implies x_2 = \pm \frac{1}{2}
     $$
   - Nếu $x_2 = \frac{1}{2}$, thì $x_1 = -2$. Nếu $x_2 = -\frac{1}{2}$, thì $x_1 = 2$.

- Ta có $x_1 + x_2 = -m$:
     $$
     -2 + \frac{1}{2} = -m \implies -\frac{3}{2} = -m \implies m = \frac{3}{2}
     $$
     $$
     2 - \frac{1}{2} = -m \implies \frac{3}{2} = -m \implies m = -\frac{3}{2}
     $$

- Vậy $m = \frac{3}{2}$ hoặc $m = -\frac{3}{2}$.

Đáp số: $m = \frac{3}{2}$ hoặc $m = -\frac{3}{2}$.