làm câu 3 vs 4 thôi Cho đường tròn (O) bán kính R và dây cung BC cố định. Một điểm A,di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Các đường cao AD, BE của,tam giác ABC cắt nhau tại H. BE cắt đường tròn (O) tại F (F khác B).,1) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp.,2) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) và OI vuông góc với BC tại I. Chứng,minh tứ giác BHCM là hình bình hành.,3) Tính AF theo R. biết $BC=R\sqrt3.$,4) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn (O) để DH DA lớn nhất.

Question

Accepted Answer

3) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BAC}=60^\circ$ (cùng chắn cung BC). 
Tứ giác ABFC nội tiếp nên $\widehat{BAF}=180^\circ-\widehat{BCF}=120^\circ$. 
Xét tam giác ABF có $\widehat{ABF}+\widehat{BAF}+\widehat{AFB}=180^\circ$ 
suy ra $\widehat{AFB}=180^\circ-(60^\circ+120^\circ)=0^\circ$. 
Tam giác ABF cân tại A có $\widehat{BAF}=120^\circ$ nên $\widehat{ABF}=\widehat{AFB}=30^\circ$. 
Ta có $\widehat{AOF}=2\widehat{ABF}=60^\circ$. 
Tam giác AOF cân tại O có $\widehat{AOF}=60^\circ$ nên là tam giác đều. 
Suy ra $AF=OA=OF=R$.

4) Ta có $DH	imes DA=DH	imes DC+DH	imes CA$. 
Mà $DH	imes DC=AH	imes HE$ (tứ giác DHEC nội tiếp). 
Suy ra $DH	imes DA=AH	imes HE+DH	imes CA$. 
Ta có $AH	imes HE=AH	imes HB+AH	imes BE$. 
Mà $AH	imes HB=BH	imes HA$ (tứ giác AHBD nội tiếp). 
Suy ra $AH	imes HE+DH	imes CA=BH	imes HA+AH	imes BE+DH	imes CA$. 
Ta có $BH	imes HA+AH	imes BE+DH	imes CA=AH	imes(BH+BE)+DH	imes CA$. 
Mà $BH+BE=AE$. 
Suy ra $AH	imes(BH+BE)+DH	imes CA=AH	imes AE+DH	imes CA$. 
Ta có $AH	imes AE+DH	imes CA=AH	imes AE+CH	imes CA$ (tứ giác CHDA nội tiếp). 
Mà $AH	imes AE+CH	imes CA=AH	imes(AE+CH)$ (nhân một số với tổng). 
Ta có $AE+CH=AH$. 
Suy ra $AH	imes(AE+CH)=AH	imes AH=AH^2$. 
Vậy $DH	imes DA=AH^2$. 
Ta có $AH^2=AH	imes AH$. 
Mà $AH	imes AH=AH	imes AM$ (AM đường kính). 
Suy ra $AH	imes AM=AH	imes(OM+OA)$. 
Mà $OM=OA=R$. 
Suy ra $AH	imes(OM+OA)=AH	imes(R+R)=AH	imes 2R$. 
Ta có $AH	imes 2R=2	imes AH	imes R$. 
Mà $AH	imes R=\frac{1}{2}	imes AH	imes 2R$. 
Suy ra $2	imes AH	imes R=2	imes(\frac{1}{2}	imes AH	imes 2R)$. 
Ta có $\frac{1}{2}	imes AH	imes 2R$ là diện tích tam giác AOH. 
Diện tích tam giác AOH lớn nhất khi OH vuông góc với AC. 
Suy ra $AH	imes DA$ lớn nhất khi OH vuông góc với AC. 
Vậy vị trí của A trên đường tròn (O) để $DH	imes DA$ lớn nhất là khi OH vuông góc với AC.