Giúp mình với! ngắn gọn xúc tích, không giair thích lòng vòng

Bài 1. Để tính các tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp, ta sẽ áp dụng công thức của các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Cụ thể, với tam giác ABC vuông tại A, ta có: - $\sin B = \frac{\text{đối}}{\text{hypotenuse}} = \frac{AC}{BC}$ - $\cos B = \frac{\text{kề}}{\text{hypotenuse}} = \frac{AB}{BC}$ - $\tan B = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{AC}{AB}$ - $\cot B = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{AB}{AC}$ Bây giờ, ta sẽ tính từng trường hợp: Trường hợp a) BC = 5 cm, AB = 3 cm Ta cần tìm AC bằng cách sử dụng định lý Pythagoras: \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \] Tính các tỉ số lượng giác: - $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$ - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$ - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$ - $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$ Trường hợp b) BC = 13 cm, AC = 12 cm Ta cần tìm AB bằng cách sử dụng định lý Pythagoras: \[ AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \] Tính các tỉ số lượng giác: - $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$ - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$ - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5}$ - $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}$ Trường hợp c) BC = 5√2 cm, AB = 5 cm Ta cần tìm AC bằng cách sử dụng định lý Pythagoras: \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - 5^2} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \] Tính các tỉ số lượng giác: - $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{5} = 1$ - $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{5} = 1$ Trường hợp d) AB = a√3, AC = a Ta cần tìm BC bằng cách sử dụng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Tính các tỉ số lượng giác: - $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$ - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ - $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$ Đáp số: a) $\sin B = \frac{4}{5}, \cos B = \frac{3}{5}, \tan B = \frac{4}{3}, \cot B = \frac{3}{4}$ b) $\sin B = \frac{12}{13}, \cos B = \frac{5}{13}, \tan B = \frac{12}{5}, \cot B = \frac{5}{12}$ c) $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan B = 1, \cot B = 1$ d) $\sin B = \frac{1}{2}, \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cot B = \sqrt{3}$ Bài 2. Trước tiên, ta cần tìm độ dài cạnh AB bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC. Theo định lý Pythagoras: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 6^2 = AB^2 + 4^2 \] \[ 36 = AB^2 + 16 \] \[ AB^2 = 36 - 16 \] \[ AB^2 = 20 \] \[ AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm} \] Bây giờ, ta sẽ tính các tỉ số lượng giác của góc B. 1. Tính sin B: \[ \sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{hypotenuse}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 2. Tính cos B: \[ \cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{hypotenuse}} = \frac{AB}{BC} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] 3. Tính tan B: \[ \tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] 4. Tính cot B: \[ \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] Vậy các tỉ số lượng giác của góc B là: \[ \sin B = \frac{2}{3}, \quad \cos B = \frac{\sqrt{5}}{3}, \quad \tan B = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \cot B = \frac{\sqrt{5}}{2} \] Bài 3. Để tính các tỉ số lượng giác của góc C trong tam giác ABC vuông tại A, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác ABC: - Cạnh AB là cạnh kề với góc C và có độ dài là 2 cm. - Cạnh AC là cạnh đối với góc C và có độ dài là 3 cm. - Cạnh BC là cạnh huyền của tam giác ABC. Bước 2: Tính độ dài cạnh huyền BC bằng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{ cm} \] Bước 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc C: - Tỉ số lượng giác sin của góc C: \[ \sin C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \] - Tỉ số lượng giác cos của góc C: \[ \cos C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \] - Tỉ số lượng giác tan của góc C: \[ \tan C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{2} \] - Tỉ số lượng giác cot của góc C: \[ \cot C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3} \] Vậy các tỉ số lượng giác của góc C là: \[ \sin C = \frac{3\sqrt{13}}{13}, \quad \cos C = \frac{2\sqrt{13}}{13}, \quad \tan C = \frac{3}{2}, \quad \cot C = \frac{2}{3} \] Bài 4. Để chứng minh tam giác MNP vuông tại M, ta áp dụng định lý Pythagoras. Theo định lý này, nếu tam giác MNP là tam giác vuông tại M, thì ta sẽ có: \[ MN^2 + MP^2 = NP^2 \] Ta thay các giá trị đã cho vào: \[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] Còn: \[ NP^2 = 13^2 = 169 \] Vì \( 25 + 144 = 169 \), nên tam giác MNP là tam giác vuông tại M. Bây giờ, ta tính các tỉ số lượng giác của góc N. - Tỉ số lượng giác của góc N là: - sin(N) = \(\frac{\text{cạnh đối}}{\text{hypotenuse}}\) = \(\frac{MP}{NP}\) = \(\frac{12}{13}\) - cos(N) = \(\frac{\text{cạnh kề}}{\text{hypotenuse}}\) = \(\frac{MN}{NP}\) = \(\frac{5}{13}\) - tan(N) = \(\frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}\) = \(\frac{MP}{MN}\) = \(\frac{12}{5}\) Vậy, các tỉ số lượng giác của góc N là: sin(N) = \(\frac{12}{13}\) cos(N) = \(\frac{5}{13}\) tan(N) = \(\frac{12}{5}\) Bài 5. a) Ta có: $sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17};~cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17};~tanB=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8};~cotB=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}$ $sinC=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17};~cosC=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17};~tanC=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15};~cotC=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8}$ b) Ta có: $AB=1,2cm;~AC=0,9cm;~BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{1,2}^{2}}+{{0,9}^{2}}}=1,5(cm)$ $sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{0,9}{1,5}=\frac{3}{5};~cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{1,2}{1,5}=\frac{4}{5};~tanB=\frac{AC}{AB}=\frac{0,9}{1,2}=\frac{3}{4};~cotB=\frac{AB}{AC}=\frac{1,2}{0,9}=\frac{4}{3}$ $sinC=\frac{AB}{BC}=\frac{1,2}{1,5}=\frac{4}{5};~cosC=\frac{AC}{BC}=\frac{0,9}{1,5}=\frac{3}{5};~tanC=\frac{AB}{AC}=\frac{1,2}{0,9}=\frac{4}{3};~cotC=\frac{AC}{AB}=\frac{0,9}{1,2}=\frac{3}{4}$ Bài 6. Trong tam giác vuông $ABH$, ta có: \[ \tan(\alpha) = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{5} \] Sử dụng máy tính cầm tay để tính góc $\alpha$: \[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) \] Thực hiện phép tính trên máy tính: \[ \alpha \approx 21.8^\circ \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ: \[ \alpha \approx 22^\circ \] Vậy số đo góc $\alpha$ là $22^\circ$. Bài 8. Để tính góc tạo bởi thang và tường, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các thông số: - Chiều dài của thang (cạnh huyền): 12 m. - Khoảng cách từ chân thang đến tường (cạnh kề): 7 m. 2. Tìm chiều cao mà thang chạm lên tường (cạnh đối): Áp dụng định lý Pythagoras: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Trong đó: - \(a\) là cạnh kề (7 m), - \(b\) là cạnh đối (chiều cao mà thang chạm lên tường), - \(c\) là cạnh huyền (12 m). Thay các giá trị vào công thức: \[ 7^2 + b^2 = 12^2 \] \[ 49 + b^2 = 144 \] \[ b^2 = 144 - 49 \] \[ b^2 = 95 \] \[ b = \sqrt{95} \] 3. Tính góc tạo bởi thang và tường: Gọi góc tạo bởi thang và tường là \(\theta\). Ta sử dụng tỉ số lượng giác \(\sin\) để tính góc này: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \] \[ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{95}}{12} \] Để tìm giá trị của góc \(\theta\), chúng ta cần sử dụng máy tính hoặc bảng lượng giác. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ giữ nguyên dạng lượng giác: \[ \theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{95}}{12}\right) \] Vậy góc tạo bởi thang và tường là \(\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{95}}{12}\right)\). Bài 9. Để tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số: - Chiều dài (AB) = 3 - Chiều rộng (BC) = $\sqrt{3}$ - Đường chéo (AC) của hình chữ nhật có thể tính bằng công thức Pythagoras: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] 2. Tìm góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn: - Gọi góc giữa đường chéo AC và cạnh ngắn hơn BC là $\theta$. - Ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc $\theta$, cụ thể là tỉ số của cạnh đối và cạnh huyền trong tam giác vuông ABC: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] - Từ bảng giá trị lượng giác, ta biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. 3. Kết luận: - Vậy góc $\theta$ là $30^\circ$. Đáp số: Góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là $30^\circ$.