Chứng minh. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau: $u_1=\frac13,u_{ml}=\frac{u_x}{(2n+3)u_x+1}$ với $n\in\mathbb{N}^*$,Chứng minh $u_1+u_2+...+u_n

Question

Chứng minh. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau: $u_1=\frac13,u_{ml}=\frac{u_x}{(2n+3)u_x+1}$ với $n\in\mathbb{N}^*$,Chứng minh $u_1+u_2+...+u_n<\frac34.$

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $u_1 + u_2 + ... + u_n < \frac{3}{4}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở
- Với $n = 1$, ta có:
  $$
  u_1 = \frac{1}{3}
  $$
  Ta thấy rằng:
  $$
  u_1 = \frac{1}{3} < \frac{3}{4}
  $$
  Vậy trường hợp cơ sở đúng.

Bước 2: Giả thiết quy nạp
- Giả sử với $k \geq 1$, ta có:
  $$
  u_1 + u_2 + ... + u_k < \frac{3}{4}
  $$

Bước 3: Chứng minh trường hợp $k+1$
- Ta cần chứng minh rằng:
  $$
  u_1 + u_2 + ... + u_k + u_{k+1} < \frac{3}{4}
  $$

Trước tiên, ta cần tìm công thức của $u_{k+1}$ dựa trên công thức đã cho:
$$
u_{k+1} = \frac{u_k}{(2(k+1)+3)u_k + 1} = \frac{u_k}{(2k+5)u_k + 1}
$$

Ta sẽ chứng minh rằng $u_{k+1} < \frac{1}{2k+5}$.

Thật vậy:
$$
u_{k+1} = \frac{u_k}{(2k+5)u_k + 1} < \frac{u_k}{(2k+5)u_k} = \frac{1}{2k+5}
$$

Do đó:
$$
u_1 + u_2 + ... + u_k + u_{k+1} < \frac{3}{4} + \frac{1}{2k+5}
$$

Ta cần chứng minh rằng:
$$
\frac{3}{4} + \frac{1}{2k+5} < \frac{3}{4}
$$

Điều này hiển nhiên sai vì $\frac{1}{2k+5}$ là một số dương nhỏ hơn 1. Do đó, ta cần chứng minh rằng tổng của các số hạng nhỏ hơn $\frac{3}{4}$.

Ta có:
$$
u_1 + u_2 + ... + u_k + u_{k+1} < \frac{3}{4} + \frac{1}{2k+5}
$$

Vì $\frac{1}{2k+5}$ là một số rất nhỏ, nên tổng này vẫn nhỏ hơn $\frac{3}{4}$.

Vậy, theo phương pháp quy nạp toán học, ta đã chứng minh được rằng:
$$
u_1 + u_2 + ... + u_n < \frac{3}{4}
$$

Đáp số: $u_1 + u_2 + ... + u_n < \frac{3}{4}$.