Câu 5 nhé. Câu 5. (4,0 điểm) Bộ hai số nguyên khác không $(x,y)$ được gọi là "bộ số đẹp" nếu x là số lẻ,,y là số chẵn, x, y nguyên tố cùng nhau và $x^2+y^2$ là số chính phương.,a. Chứng minh rằng $(x,y)$ là "bộ số đẹp" khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên u,v,khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho $(x,y)=(u^2-v^2,2uv).$,b. Với mỗi "bộ số đẹp" (x, y) ta có thể tạo ra 1 "bộ số đẹp" mới bởi 1 trong 2 phép,biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số,sao cho $(x+k,y+k)$ là "bộ số đẹp". Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp $(x,y)$,và $(z,t)$ cho trước ta luôn có thể biến đổi từ $(x,y)$ thành $(z,t)$ sau hữu hạn các,bước biến đổi như trên.

Question

Accepted Answer

Câu 5 Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của họ. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $. Giải: 1. Xác định tập xác định: Hàm số $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ là một hàm đa thức, do đó tập xác định của nó là $ \mathbb{R} $. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = 2x - 4 $$ 3. Tìm các điểm cực trị: $$ f'(x) = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 $$ Ta có $ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $. 4. Xét dấu đạo hàm để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi $ x < 2 $, ta có $ f'(x) < 0 $ (hàm số giảm). - Khi $ x > 2 $, ta có $ f'(x) > 0 $ (hàm số tăng). Do đó, $ x = 2 $ là điểm cực tiểu của hàm số. 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Vì hàm số $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ là một parabol mở lên (vì hệ số của $ x^2 $ là dương), giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị tại điểm cực tiểu. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -1 $, đạt được khi $ x = 2 $. - Giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại vì hàm số mở rộng vô cùng khi $ x \to \pm \infty $. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -1 $, đạt được khi $ x = 2 $. - Giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại. Như vậy, chúng ta đã giải quyết bài toán theo đúng các quy tắc đã đề ra. Câu 5. a. Ta có $x$ là số lẻ, $y$ là số chẵn, $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau và $x^2 + y^2$ là số chính phương. Điều này có nghĩa là $x^2 + y^2 = z^2$ với $z$ là số nguyên. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên $u$ và $v$ khác 0, khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho $(x, y) = (u^2 - v^2, 2uv)$. - Giả sử $x = m^2 - n^2$ và $y = 2mn$, với $m$ và $n$ là các số nguyên khác 0, khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau. - Ta có $x^2 + y^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$. Do đó, $x^2 + y^2$ là số chính phương. Hơn nữa, $x$ là số lẻ vì $m^2 - n^2$ là hiệu của hai bình phương của hai số nguyên khác tính chẵn lẻ, và $y$ là số chẵn vì $2mn$ là tích của 2 và một số nguyên. Vậy $(x, y) = (u^2 - v^2, 2uv)$ với $u$ và $v$ là các số nguyên khác 0, khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau. b. Ta cần chứng minh rằng với bất kỳ hai bộ số đẹp $(x, y)$ và $(z, t)$ cho trước, ta luôn có thể biến đổi từ $(x, y)$ thành $(z, t)$ sau hữu hạn các bước biến đổi như trên. - Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu $(x, y)$ là bộ số đẹp thì $(-x, y)$, $(x, -y)$, $(-x, -y)$ cũng là bộ số đẹp. - Thêm vào đó, nếu $(x, y)$ là bộ số đẹp thì $(x + k, y + k)$ cũng là bộ số đẹp với $k$ là số nguyên. Ta sẽ chứng minh rằng ta có thể biến đổi từ $(x, y)$ thành $(z, t)$ bằng cách sử dụng các phép biến đổi trên. - Giả sử $(x, y)$ và $(z, t)$ đều là các bộ số đẹp. Ta có thể thêm một số nguyên $k$ vào cả hai số của $(x, y)$ để làm cho $x + k$ và $z$ có cùng tính chẵn lẻ. Sau đó, ta có thể thêm một số nguyên $l$ vào cả hai số của $(x + k, y + k)$ để làm cho $y + k + l$ và $t$ có cùng tính chẵn lẻ. - Cuối cùng, ta có thể đổi dấu của một trong hai số của $(x + k + l, y + k + l)$ để làm cho nó trở thành $(z, t)$. Vậy ta đã chứng minh rằng với bất kỳ hai bộ số đẹp $(x, y)$ và $(z, t)$ cho trước, ta luôn có thể biến đổi từ $(x, y)$ thành $(z, t)$ sau hữu hạn các bước biến đổi như trên.