Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M là trung điểm BC. a) Chứng minh AMB  AMC , AM là trung trực của BC.
b) Lấy điểm D trên đường thẳng AM, chứng minh DAB  DAC .
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
a) ABE  HBE.
b) BE là đường trung trực của AH.
c) AEK  HEC và BE là trung trực của KC.
Câu 3. Cho tam giác ABC có A 110o . Các đường trung trực của AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F.
a) Chứng minh EAB  EBA b) Tính EAF .
Câu 4. Cho tam giác ABC có AC AB. Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE=AB. Các đường trung trực
của BE và trung trực của AC cắt nhau tại điểm O. Chứng mính:
a) AOB  COE b) AO là tia phân giác của góc A.
Câu 5. Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của xOy . Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz . Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A , cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B , cắt Ox tại D . Chứng minh:
a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB ; b) OM là đường trung trực của AB ;
c) OM là đường trung trực của CD .
d) AB//CD.
Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Lấy điểm M sao cho AB là trung trực của HM, lấy điểm N sao cho AC là trung trực của HN.
a) Chứng minh AMN cân. b) MAN  2.BAC
Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường thẳng BC lấy P, Q sao cho BP = (B giữa P và C; C giữa B
và Q). Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM là trung trực của PQ.
b) Chứng minh ABP  ACQ , và AM cũng là trung trực của PQ.

Question

Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M là trung điểm BC. a) Chứng minh AMB  AMC , AM là trung trực của BC.
b) Lấy điểm D trên đường thẳng AM, chứng minh DAB  DAC .
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
a) ABE  HBE.
b) BE là đường trung trực của AH.
c) AEK  HEC và BE là trung trực của KC.
Câu 3. Cho tam giác ABC có A 110o . Các đường trung trực của AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F.
a) Chứng minh EAB  EBA b) Tính EAF .
Câu 4. Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE=AB. Các đường trung trực
của BE và trung trực của AC cắt nhau tại điểm O. Chứng mính:
a) AOB  COE b) AO là tia phân giác của góc A.
Câu 5. Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của xOy . Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz . Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A , cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B , cắt Ox tại D . Chứng minh:
a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB ; b) OM là đường trung trực của AB ;
c) OM là đường trung trực của CD .
d) AB//CD.
Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Lấy điểm M sao cho AB là trung trực của HM, lấy điểm N sao cho AC là trung trực của HN.
a) Chứng minh AMN cân. b) MAN  2.BAC
Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường thẳng BC lấy P, Q sao cho BP = (B giữa P và C; C giữa B
và Q). Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM là trung trực của PQ.
b) Chứng minh ABP  ACQ , và AM cũng là trung trực của PQ.

Accepted Answer

Câu 1.
a) Chứng minh $\Delta AMB = \Delta AMC$, AM là trung trực của BC.

- Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.
- Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
- AM chung cho cả hai tam giác AMB và AMC.

Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - cạnh - cạnh), ta có:
$$
\Delta AMB = \Delta AMC
$$

- Từ đây, ta suy ra $\angle AMB = \angle AMC$.
- Vì tổng các góc ở đỉnh M là 180°, nên $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$.

Vậy AM là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Chứng minh $\angle DAB = \angle DAC$.

- Vì AM là đường trung trực của BC, nên mọi điểm trên AM đều cách đều B và C.
- Do đó, D nằm trên AM, suy ra DB = DC.

- Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
  - AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)
  - AD chung
  - DB = DC (chứng minh trên)

Theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - cạnh - cạnh), ta có:
$$
\Delta ABD = \Delta ACD
$$

- Từ đây, ta suy ra $\angle DAB = \angle DAC$.

Vậy ta đã chứng minh xong.

Câu 2.
a) Xét $\triangle ABE$ và $\triangle HBE$:
- $BE$ là cạnh chung.
- $\angle ABE = \angle EBC$ (vì $BE$ là đường phân giác của $\angle ABC$).
- $\angle AEB = \angle HEB = 90^\circ$ (vì $EH \perp BC$).

Do đó, $\triangle ABE \cong \triangle HBE$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Vì $\triangle ABE \cong \triangle HBE$, nên $AE = HE$ và $AB = HB$. Do đó, $BE$ là đường trung trực của $AH$ (vì nó vuông góc và chia đôi đoạn thẳng $AH$).

c) Xét $\triangle AEK$ và $\triangle HEK$:
- $AE = HE$ (chứng minh ở phần a)).
- $EK$ là cạnh chung.
- $\angle AEK = \angle HEK = 90^\circ$ (vì $EH \perp BC$).

Do đó, $\triangle AEK \cong \triangle HEK$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Vì $\triangle AEK \cong \triangle HEK$, nên $AK = HK$. Do đó, $BE$ là đường trung trực của $KC$ (vì nó vuông góc và chia đôi đoạn thẳng $KC$).

Đáp số: 
a) $\triangle ABE \cong \triangle HBE$.
b) $BE$ là đường trung trực của $AH$.
c) $\triangle AEK \cong \triangle HEK$ và $BE$ là đường trung trực của $KC$.

Câu 3.
a) Ta có: EA = EB (E thuộc đường trung trực của AB)
$\Rightarrow \angle EAB = \angle EBA$ (Tính chất tam giác cân)
b) Ta có: FA = FC (F thuộc đường trung trực của AC)
$\Rightarrow \angle FAC = \angle FCA$
Mà $\angle BAC = \angle BAF + \angle FAC$
$\Rightarrow \angle BAF = \angle BAC - \angle FAC$
$= 110^{\circ} - \angle FCA$
$\Rightarrow \angle EAF = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle BAF)$
$= 180^{\circ} - (\angle EBA + 110^{\circ} - \angle FCA)$
$= 70^{\circ} + \angle FCA - \angle EBA$
$= 70^{\circ} + \angle FCB - \angle EBC$ (vì $\angle FCA = \angle FCB)$
$= 70^{\circ} + \angle C - \angle B$
Ta có: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$
$= 180^{\circ} - 110^{\circ}$
$= 70^{\circ}$
$\Rightarrow \angle C = 70^{\circ} - \angle B$
$\Rightarrow \angle EAF = 70^{\circ} + 70^{\circ} - \angle B - \angle B$
$= 140^{\circ} - 2 \times \angle B$
$= 2 \times (70^{\circ} - \angle B)$
$= 2 \times \angle C$
$= 2 \times 35^{\circ}$
$= 70^{\circ}$

Câu 4.
a) Ta có O thuộc đường trung trực của BE nên OB = OE. 
O thuộc đường trung trực của AC nên OA = OC. 
Mặt khác, AB = CE (theo đầu bài). 
Do đó, ta có: 
OA = OC, OB = OE, AB = CE. 
Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh - cạnh - cạnh), ta có: 
ΔAOB ≅ ΔCOE. 
b) Từ kết quả ở phần a), ta có: 
∠BAO = ∠ECO (hai góc tương ứng). 
Mặt khác, ta có: 
∠ECO = ∠CAO (vì OA = OC nên O nằm trên tia phân giác của góc CAE). 
Từ đó, ta có: 
∠BAO = ∠CAO. 
Vậy AO là tia phân giác của góc A.

Câu 5.
a) Ta có $OA \perp a$ và $OB \perp b$
Mà $O$ là giao điểm của $a$ và $b$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AB$
b) Ta có $Oz$ là tia phân giác của $xOy$
$MA \perp Ox$ và $MB \perp Oy$
Nên $OM$ là đường trung trực của $AB$
c) Ta có $OM$ là đường trung trực của $AB$
Nên $MA = MB$
Ta có $MA \perp Ox$ và $MB \perp Oy$
Nên $MA$ và $MB$ là hai đường cao hạ từ $M$ đến $OD$ và $OC$
Mà $MA = MB$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $CD$
Lại có $O$ thuộc đường trung trực của $CD$
Nên $OM$ là đường trung trực của $CD$
d) Ta có $MA \perp Ox$ và $MB \perp Oy$
Nên $MA \parallel OB$
Tương tự ta có $MB \parallel OA$
Nên $AB \parallel CD$

Câu 6.
a) Chứng minh $\Delta AMN$ cân:
- Vì AB là trung trực của HM nên AH = AM và HB = BM.
- Vì AC là trung trực của HN nên AH = AN và HC = CN.
- Từ đó ta có AM = AN (cùng bằng AH), suy ra $\Delta AMN$ cân tại A.

b) Chứng minh $\angle MAN = 2 \times \angle BAC$:
- Xét $\Delta ABH$ và $\Delta AMB$, ta có:
  - AH = AM (chứng minh trên)
  - AB chung
  - $\angle ABH = \angle AMB = 90^\circ$ (vì AB là trung trực của HM)
  - Suy ra $\Delta ABH = \Delta AMB$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
  - Từ đó suy ra $\angle BAM = \angle BAH$

- Xét $\Delta ACH$ và $\Delta ANC$, ta có:
  - AH = AN (chứng minh trên)
  - AC chung
  - $\angle ACH = \angle ANC = 90^\circ$ (vì AC là trung trực của HN)
  - Suy ra $\Delta ACH = \Delta ANC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
  - Từ đó suy ra $\angle CAN = \angle CAH$

- Ta có $\angle MAN = \angle BAM + \angle CAN$
- Thay $\angle BAM = \angle BAH$ và $\angle CAN = \angle CAH$ vào, ta được:
  $$
  \angle MAN = \angle BAH + \angle CAH = \angle BAC + \angle BAC = 2 \times \angle BAC
  $$

Vậy $\angle MAN = 2 \times \angle BAC$.

Câu 7.
a) Chứng minh AM là trung trực của PQ.

- Vì tam giác ABC cân tại A nên AM là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, đồng thời AM cũng là đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất tam giác cân).
- Do BP = CQ, ta có:
  - MP = MB + BP = MC + CQ = MQ.
  - Vậy M là trung điểm của PQ.
- AM vuông góc với BC, do đó AM cũng vuông góc với PQ (vì M là trung điểm của PQ và nằm trên đường thẳng BC).
- Từ đó, AM là đường trung trực của PQ.

b) Chứng minh ABP  ACQ, và AM cũng là trung trực của PQ.

- Xét tam giác ABP và ACQ:
  - AB = AC (tính chất tam giác cân tại A).
  - BP = CQ (theo đề bài).
  - Góc ABP = góc ACQ (góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân).
- Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh - góc - cạnh), ta có ABP  ACQ.
- Từ đó, AP = AQ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
- Vì AP = AQ và M là trung điểm của PQ, nên AM là đường trung trực của PQ (đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó).

Đáp số: AM là trung trực của PQ.

Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M là trung điểm BC. a) Chứng minh AMB  AMC , AM là trung trực của BC. b) Lấy điểm D trên đường thẳng AM, chứng minh DAB  DAC . Câu 2. Cho tam giác ABC vuông t...