Tìm giá trị m.

Câu 1: Để đường thẳng \(d\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), ta cần tìm \(m\) sao cho phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((P)\) có hai nghiệm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm: \[x^2 - x + 1 = mx + 4\] \[x^2 - (m + 1)x - 3 = 0\] Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[(m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) > 0\] \[(m + 1)^2 + 12 > 0\] Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi \(m\), do đó \(d\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt. Tiếp theo, ta cần tính diện tích tam giác \(MAB\) và so sánh với diện tích tam giác \(MAB\). Diện tích tam giác \(MAB\) được tính bằng công thức: \[S_{MAB} = \frac{1}{2} \left| x_1 - x_2 \right| \left| y_M - y_A \right|\] Trong đó, \(x_1\) và \(x_2\) là nghiệm của phương trình \(x^2 - (m + 1)x - 3 = 0\). Ta có: \[x_1 + x_2 = m + 1\] \[x_1 x_2 = -3\] Tính khoảng cách giữa hai nghiệm: \[\left| x_1 - x_2 \right| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}\] \[\left| x_1 - x_2 \right| = \sqrt{(m + 1)^2 + 12}\] Diện tích tam giác \(MAB\): \[S_{MAB} = \frac{1}{2} \sqrt{(m + 1)^2 + 12} \cdot 4\] \[S_{MAB} = 2 \sqrt{(m + 1)^2 + 12}\] Theo đề bài, ta cần: \[S_{MAB} = 3 S_{MAB}\] Do đó: \[2 \sqrt{(m + 1)^2 + 12} = 3 \cdot 2 \sqrt{(m + 1)^2 + 12}\] \[2 \sqrt{(m + 1)^2 + 12} = 6 \sqrt{(m + 1)^2 + 12}\] Điều này chỉ đúng nếu: \[\sqrt{(m + 1)^2 + 12} = 0\] Nhưng \(\sqrt{(m + 1)^2 + 12}\) luôn lớn hơn 0, do đó không có giá trị \(m\) nào thỏa mãn điều kiện trên. Vậy không có giá trị \(m\) nào để đường thẳng \(d\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(S_{MAB} = 3 S_{MAB}\).