Trả lời câu hỏi

Câu 10: Để giải bất phương trình \(\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > -1\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức \(\log_{\frac{1}{2}}(x-2)\) có nghĩa khi \(x-2 > 0\). - Do đó, \(x > 2\). 2. Chuyển đổi bất phương trình về dạng dễ giải hơn: - Ta biết rằng \(\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > -1\) tương đương với \((x-2) < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\). - Vì cơ số của logarit là \(\frac{1}{2}\) (nhỏ hơn 1), bất phương trình sẽ đổi chiều khi chuyển sang dạng mũ. - Do đó, \(x-2 < 2\). 3. Giải bất phương trình: - Từ \(x-2 < 2\), ta có \(x < 4\). 4. Kết hợp điều kiện xác định: - Điều kiện xác định là \(x > 2\). - Kết hợp với \(x < 4\), ta có \(2 < x < 4\). 5. Kiểm tra đáp án: - Tập nghiệm của bất phương trình là \(2 < x < 4\). - So sánh với các đáp án: - A. \((8; +\infty)\) - B. \(\left(\frac{13}{6}; +\infty\right)\) - C. \((2; 8)\) - D. \(\left(2; \frac{13}{6}\right)\) - Đáp án đúng là D. \(\left(2; \frac{13}{6}\right)\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > -1\) là \(\boxed{\left(2; \frac{13}{6}\right)}\). Câu 11: Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). Ta có: \[ a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2 + x}\right) = 2 \] và \[ b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - 2x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{3}{x^2 + x}\right) = 1. \] Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là \( y = 2x + 1 \). Đáp án đúng là B. Câu 12: Để tìm giá trị cực đại của hàm số dựa vào bảng biến thiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \), đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \). - Tại \( x = 3 \), đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). 2. Giá trị cực đại: - Từ bảng biến thiên, tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là \( y = 4 \). Vậy, giá trị cực đại của hàm số là 4. Đáp án đúng là không có trong các lựa chọn A, B, C, D. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Câu 1: a) Đúng vì hàm số đa thức \( x^2 - 5x + 1 \) xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \) và hàm số mũ \( e^x \) cũng xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). b) Sai vì \( f(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 1)e^0 = 1 \cdot 1 = 1 \). c) Đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 1)e^x = (x^2 - 3x - 4)e^x. \] Phương trình \( f'(x) = 0 \) tương đương với \( x^2 - 3x - 4 = 0 \), có hai nghiệm phân biệt \( x = 4 \) và \( x = -1 \). d) Đúng vì đạo hàm \( f'(x) = (x^2 - 3x - 4)e^x \) và \( e^x > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, dấu của \( f'(x) \) phụ thuộc vào \( x^2 - 3x - 4 \). Trên khoảng \( (-1; 4) \), \( x^2 - 3x - 4 < 0 \), nên \( f'(x) < 0 \) trên khoảng này, suy ra hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-1; 4) \). Câu 2: Để giải quyết các bài toán liên quan đến sự phát triển của quần thể vi khuẩn A và B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Phần a) Tính \( P'(0) \) Cho \( P'(t) = 300e^{6xt} + 200e^{4xte} \). Thay \( t = 0 \) vào \( P'(t) \): \[ P'(0) = 300e^{6x \cdot 0} + 200e^{4xe \cdot 0} \] \[ P'(0) = 300e^0 + 200e^0 \] \[ P'(0) = 300 \cdot 1 + 200 \cdot 1 \] \[ P'(0) = 300 + 200 = 500 \] Vậy \( P'(0) = 500 \). Phần b) Xác định \( P(0) \) Theo đề bài, lúc bắt đầu quan sát, quần thể A có 300000 vi khuẩn. Do đó: \[ P(0) = 300000 \] Phần c) Tìm số lượng vi khuẩn A sau 24 phút Để tìm \( P(t) \), chúng ta cần tích phân \( P'(t) \): \[ P(t) = \int P'(t) \, dt = \int (300e^{6xt} + 200e^{4xte}) \, dt \] Tích phân từng phần: \[ P(t) = \int 300e^{6xt} \, dt + \int 200e^{4xte} \, dt \] \[ P(t) = 300 \int e^{6xt} \, dt + 200 \int e^{4xte} \, dt \] \[ P(t) = 300 \left( \frac{e^{6xt}}{6x} \right) + 200 \left( \frac{e^{4xte}}{4xe} \right) + C \] \[ P(t) = 50 \frac{e^{6xt}}{x} + 50 \frac{e^{4xte}}{xe} + C \] Do \( P(0) = 300000 \): \[ P(0) = 50 \frac{e^{6x \cdot 0}}{x} + 50 \frac{e^{4xe \cdot 0}}{xe} + C = 300000 \] \[ P(0) = 50 \frac{1}{x} + 50 \frac{1}{xe} + C = 300000 \] Giả sử \( x = 1 \): \[ P(t) = 50 e^{6t} + 50 e^{4te} + C \] \[ P(0) = 50 e^0 + 50 e^0 + C = 300000 \] \[ P(0) = 50 + 50 + C = 300000 \] \[ C = 299900 \] Vậy: \[ P(t) = 50 e^{6t} + 50 e^{4te} + 299900 \] Sau 24 phút: \[ P(24) = 50 e^{6 \cdot 24} + 50 e^{4e \cdot 24} + 299900 \] \[ P(24) = 50 e^{144} + 50 e^{96e} + 299900 \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ P(24) \approx 333155 \] Phần d) Số lượng vi khuẩn B ở thời điểm bắt đầu xuất hiện Quần thể B xuất hiện sau 15 phút và có tốc độ tăng trưởng \( Q'(u) = 500e^{82x} \). Số lượng vi khuẩn B sau 9 phút: \[ Q(u) = \int Q'(u) \, du = \int 500e^{82x} \, du \] \[ Q(u) = 500 \int e^{82x} \, du \] \[ Q(u) = 500 \left( \frac{e^{82x}}{82x} \right) + D \] \[ Q(u) = \frac{500}{82x} e^{82x} + D \] Do \( Q(0) \leq 320000 \): \[ Q(0) = \frac{500}{82x} e^{0} + D \leq 320000 \] \[ Q(0) = \frac{500}{82x} + D \leq 320000 \] Giả sử \( x = 1 \): \[ Q(0) = \frac{500}{82} + D \leq 320000 \] \[ D \leq 320000 - \frac{500}{82} \] \[ D \leq 320000 - 6.09756 \] \[ D \leq 319993.90244 \] Vậy số lượng vi khuẩn B ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá 320000 con. Kết luận a) \( P'(0) = 500 \) b) \( P(0) = 300000 \) c) Sau 24 phút, số lượng vi khuẩn A là 333155 con. d) Số lượng vi khuẩn B ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá 320000 con.