Giúp mình với!
Trong Oxy cho ΔABC với A(1;-2), B(5;-2),C(3;2). Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ΔABC.

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm tọa độ trọng tâm $ G $, trực tâm $ H $, và tâm đường tròn ngoại tiếp $ I $ của tam giác $ \Delta ABC $ với các đỉnh $ A(1, -2) $, $ B(5, -2) $, $ C(3, 2) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ trọng tâm $ G $

Trọng tâm $ G $ của tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến và có tọa độ được tính bằng trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh:

$$
G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
$$

Thay tọa độ của các điểm vào công thức:

$$
G\left( \frac{1 + 5 + 3}{3}, \frac{-2 - 2 + 2}{3} \right) = G\left( \frac{9}{3}, \frac{-2}{3} \right) = G(3, -\frac{2}{3})
$$

2. Tìm tọa độ trực tâm $ H $

Trực tâm $ H $ là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Để tìm $ H $, ta cần tìm phương trình của hai đường cao và tìm giao điểm của chúng.

- Đường cao từ $ A $: Đường cao từ $ A $ vuông góc với $ BC $. Ta tính hệ số góc của $ BC $:

$$
k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2 - (-2)}{3 - 5} = \frac{4}{-2} = -2
$$

Đường cao từ $ A $ có hệ số góc là $ \frac{1}{2} $ (vì $ k \cdot k&#x27; = -1 $) và đi qua $ A(1, -2) $:

$$
y + 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}
$$

- Đường cao từ $ B $: Đường cao từ $ B $ vuông góc với $ AC $. Ta tính hệ số góc của $ AC $:

$$
k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2
$$

Đường cao từ $ B $ có hệ số góc là $ -\frac{1}{2} $ và đi qua $ B(5, -2) $:

$$
y + 2 = -\frac{1}{2}(x - 5) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
$$

- Giao điểm của hai đường cao:

Giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \
y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
\end{cases}
$$

Giải phương trình:

$$
\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3
$$

Thay $ x = 3 $ vào phương trình thứ nhất:

$$
y = \frac{1}{2} \times 3 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -1
$$

Vậy, tọa độ trực tâm $ H(3, -1) $.

3. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $ I $

Tâm đường tròn ngoại tiếp $ I $ là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. Ta chỉ cần tìm giao điểm của hai đường trung trực.

- Trung trực của $ AB $: Trung điểm của $ AB $ là $ M\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-2-2}{2}\right) = M(3, -2) $. Hệ số góc của $ AB $ là 0, nên trung trực vuông góc với $ AB $ có hệ số góc không xác định (đường thẳng đứng):

$$
x = 3
$$

- Trung trực của $ AC $: Trung điểm của $ AC $ là $ N\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = N(2, 0) $. Hệ số góc của $ AC $ là 2, nên trung trực có hệ số góc là $ -\frac{1}{2} $:

$$
y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 1
$$

- Giao điểm của hai trung trực:

Giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x = 3 \
y = -\frac{1}{2}x + 1
\end{cases}
$$

Thay $ x = 3 $ vào phương trình thứ hai:

$$
y = -\frac{1}{2} \times 3 + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}
$$

Vậy, tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $ I(3, -\frac{1}{2}) $.

Kết luận

- Trọng tâm $ G(3, -\frac{2}{3}) $
- Trực tâm $ H(3, -1) $
- Tâm đường tròn ngoại tiếp $ I(3, -\frac{1}{2}) $

Giúp mình với! Trong Oxy cho ΔABC với A(1;-2), B(5;-2),C(3;2). Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ΔABC.