Ưhat the sigma.

Bài 7: Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) và thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (giờ) (điều kiện: x > 0, y > 0). Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể và vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Theo đề bài, hai vòi cùng chảy vào một bể thì sau 5 giờ 50 phút (tương đương 5,83 giờ) thì đầy bể. Do đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5,83}$ Nếu hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ nhất lại thì vòi thứ hai chảy trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Do đó, ta có phương trình: $5 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 2 \cdot \frac{1}{y} = 1$ Giải hệ phương trình trên, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5,83}$ $5 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 2 \cdot \frac{1}{y} = 1$ Thay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5,83}$ vào phương trình thứ hai, ta có: $5 \cdot \frac{1}{5,83} + 2 \cdot \frac{1}{y} = 1$ $\frac{5}{5,83} + 2 \cdot \frac{1}{y} = 1$ $2 \cdot \frac{1}{y} = 1 - \frac{5}{5,83}$ $2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5,83 - 5}{5,83}$ $2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{0,83}{5,83}$ $\frac{1}{y} = \frac{0,83}{11,66}$ $y = \frac{11,66}{0,83}$ $y = 14$ Thay y = 14 vào phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5,83}$, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{14} = \frac{1}{5,83}$ $\frac{1}{x} = \frac{1}{5,83} - \frac{1}{14}$ $\frac{1}{x} = \frac{14 - 5,83}{5,83 \cdot 14}$ $\frac{1}{x} = \frac{8,17}{81,62}$ $x = \frac{81,62}{8,17}$ $x = 10$ Vậy, vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 10 giờ và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 14 giờ. Bài 8: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \( x \) và \( y \) (đơn vị: cm, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật là 150 cm, ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 150 \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ x + y = 75 \quad (1) \] Khi tăng chiều rộng thêm 6 cm và giảm chiều dài 15 cm, hình chữ nhật trở thành hình vuông. Điều này có nghĩa là: \[ y + 6 = x - 15 \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ x - y = 21 \quad (2) \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 75 \\ x - y = 21 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta cộng hai phương trình lại: \[ (x + y) + (x - y) = 75 + 21 \] \[ 2x = 96 \] \[ x = 48 \] Thay giá trị \( x = 48 \) vào phương trình (1): \[ 48 + y = 75 \] \[ y = 27 \] Vậy, chiều dài của hình chữ nhật là 48 cm và chiều rộng là 27 cm. Bài 9: Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn là \( y \) và \( x \) (m, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Ta có chu vi của khu vườn ban đầu là: \[ 2(x + y) = 48 \] Hay: \[ x + y = 24 \quad \text{(1)} \] Khi tăng chiều rộng lên bốn lần và tăng chiều dài lên ba lần, ta có chu vi mới là: \[ 2(4x + 3y) = 162 \] Hay: \[ 4x + 3y = 81 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình (1) và (2): \[ x + y = 24 \] \[ 4x + 3y = 81 \] Nhân phương trình (1) với 3 để dễ dàng trừ: \[ 3x + 3y = 72 \] Trừ phương trình này từ phương trình (2): \[ (4x + 3y) - (3x + 3y) = 81 - 72 \] \[ x = 9 \] Thay \( x = 9 \) vào phương trình (1): \[ 9 + y = 24 \] \[ y = 15 \] Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu là 15 m và 9 m. Diện tích của khu vườn ban đầu là: \[ 15 \times 9 = 135 \, \text{m}^2 \] Đáp số: Diện tích của khu vườn ban đầu là 135 m². Bài 10: Gọi số viên bi ban đầu ở hộp thứ nhất là x (viên bi, điều kiện: 0 < x < 360). Số viên bi ban đầu ở hộp thứ hai là 360 - x (viên bi). Sau khi chuyển 30 viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai, số viên bi ở hộp thứ nhất là x - 30 (viên bi). Số viên bi ở hộp thứ hai lúc này là 360 - x + 30 = 390 - x (viên bi). Theo đề bài, số viên bi ở hộp thứ hai gấp đôi số viên bi ở hộp thứ nhất sau khi chuyển: 390 - x = 2(x - 30) Giải phương trình: 390 - x = 2x - 60 390 + 60 = 2x + x 450 = 3x x = 150 Số viên bi ban đầu ở hộp thứ hai là: 360 - x = 360 - 150 = 210 (viên bi) Vậy hộp thứ hai có 210 viên bi ban đầu. Bài 11: Gọi số có hai chữ số là $\stackrel{-}{ab}.$ Đổi chỗ hai chữ số ta được số $\stackrel{-}{ba}.$ Theo đề bài ta có: $\stackrel{-}{ba}-\stackrel{-}{ab}=63$ $\stackrel{-}{ab}+\stackrel{-}{ba}=99$ Từ đó ta có: $(\stackrel{-}{ba}+\stackrel{-}{ab})-(\stackrel{-}{ba}-\stackrel{-}{ab})=99-63$ $2\times \stackrel{-}{ab}=36$ $\stackrel{-}{ab}=18$ Vậy tổng các chữ số của số đó là $1+8=9.$ Bài 12: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn hình chữ nhật. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là \( x \) và \( y \) (đơn vị: mét, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Theo đề bài, chu vi của khu vườn là 60 m, ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 60 \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ x + y = 30 \quad (1) \] Khi tăng chiều dài lên bốn lần và chiều rộng lên ba lần, chu vi mới là 216 m. Ta có phương trình: \[ 2(4x + 3y) = 216 \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ 4x + 3y = 108 \quad (2) \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 30 \\ 4x + 3y = 108 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình (1), ta có: \[ y = 30 - x \] Thay vào phương trình (2): \[ 4x + 3(30 - x) = 108 \] Rút gọn: \[ 4x + 90 - 3x = 108 \] \[ x + 90 = 108 \] \[ x = 18 \] Thay \( x = 18 \) vào phương trình \( y = 30 - x \): \[ y = 30 - 18 = 12 \] Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là 18 m và 12 m. Bài 13: Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x (ngày, điều kiện: x > 0). Thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là y (ngày, điều kiện: y > 0). Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 ngày, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Theo đề bài, ta có: - Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 bằng $\frac{2}{3}$ năng suất của người thứ nhất, tức là $\frac{1}{y} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x}$. - Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày, tức là trong 1 ngày, hai người làm được $\frac{1}{15}$ công việc, tức là $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15}$. Từ $\frac{1}{y} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x}$, ta có $y = \frac{3}{2}x$. Thay $y = \frac{3}{2}x$ vào phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15}$, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3}{2}x} = \frac{1}{15}$. Điều này tương đương với: $\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{15}$. Quy đồng mẫu số, ta có: $\frac{3}{3x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{15}$. Tổng của hai phân số trên là: $\frac{5}{3x} = \frac{1}{15}$. Nhân chéo, ta có: $5 \cdot 15 = 3x$. Do đó: $x = \frac{75}{3} = 25$. Vậy thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là 25 ngày. Thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là: $y = \frac{3}{2} \cdot 25 = 37,5$ ngày. Đáp số: Người thứ nhất: 25 ngày; Người thứ hai: 37,5 ngày.